Das folgende Doppelintegral soll berechnet werden.

Question

Aufgabe:

(Doppelintegrale in kartesischer Form mit variablen Grenzen)

Berechnen Sie das Doppelintegral:

\(\displaystyle \int \limits_{x=0}^{3} \, \int \limits_{y=0}^{1-x}\left(2 x y-x^{2}-y^{2}\right) d y \, d x \)

Problem/Ansatz:

Guten Tag, folgende Aufgabe bereitet mir Schwierigkeiten. Ich habe zwar einen Doppelintegralrechner im Internet verwendet und komme auf die unten dargestellte Lösung, aber irgendwie fehlen mir die Zwischenschritte und somit ist mir die Lösung aus dem Internet nicht schlüssig genug. Kann mir bitte jemand helfen und eine Lösungsmöglichkeit mit Zwischenschritten mitteilen?

Dies ist der Lösungsweg aus dem Online-Rechner:

\( \int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{1-x}\left(2 x y-x^{2}-y^{2}\right) d y d x \)

\( \int \limits_{0}^{1-x}\left(2 x y-x^{2}-y^{2}\right) d y=2 x^{3}-3 x^{2}+x-\frac{(-x+1)^{3}}{3} \)

\( =\int \limits_{0}^{3}\left(2 x^{3}-3 x^{2}+x-\frac{(-x+1)^{3}}{3}\right) d x \)

\( \begin{array}{l}\int \limits_{0}^{3}\left(2 x^{3}-3 x^{2}+x-\frac{(-x+1)^{3}}{3}\right) d x=\frac{77}{4} \\ =\frac{77}{4}\end{array} \)

Vielen Dank!

Schöne Grüße

Vera

Comments

Sind im Lösungsweg aus dem Online-Rechner ein paar Gleichheitszeichen verrutscht?

Answer 1

Aloha :)

Wir sehen sofort, dass \((2xy-x^2-y^2)=-(y^2-2xy+x^2)=-(y-x)^2\) ist und können damit den Integranden vereinfachen:$$I=\int\limits_{x=0}^3\int\limits_{y=0}^{1-x}(2xy-x^2-y^2)\,dy\,dx=\int\limits_{x=0}^3\int\limits_{y=0}^{1-x}\!\!\!-(y-x)^2\,dy\,dx=-\int\limits_{x=0}^3\left[\frac{(y-x)^3}{3}\right]_{y=0}^{1-x}dx$$$$\phantom I=-\int\limits_{x=0}^3\left(\frac{((1-x)-x)^3}{3}-\frac{(0-x)^3}{3}\right)dx=-\int\limits_{x=0}^3\left(\frac{(1-2x)^3}{3}+\frac{x^3}{3}\right)dx$$

Wir holen das negative Vorzeichen des Integrals in den Integranden, indem wir diesen mit \((-1)\) multiplizieren. Danach integrieren wir über \(dx\) und beachten dabei, dass wir durch die innere Ableitung \(\pink2\) dividieren müssen$$\phantom I=\int\limits_{x=0}^3\left(\frac{(\pink2x-1)^3}{3}-\frac{x^3}{3}\right)dx=\left[\frac{(\pink2x-1)^4}{\pink2\cdot12}-\frac{x^4}{12}\right]_{x=0}^3=\left(\frac{5^4}{24}-\frac{3^4}{12}\right)-\left(\frac{(-1)^4}{24}\right)$$$$\phantom I=\frac{625}{24}-\frac{162}{24}-\frac{1}{24}=\frac{462}{24}=\frac{77}{4}$$

Comments

Danke für die Lösung :)

Answer 2

Hallo,

das Ergebnis stimmt:

\( \int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{1-x}\left(2 x y-x^{2}-y^{2}\right) d y d x=\frac{77}{4} \)