Zur Divergenz des Cauchyproduktes:
Ich will zeigen, dass ∑n=0∞(∑i=0naian−i) divergiert.
Bekanntermaßen gilt für das geometrische und das arithmetische
Mittel die Ungleichung ab≤2a+b, also auch
ab1≥a+b2. Daher ist
i(n−i)1≥n2. das Cauchypordukt liefert nun
wegen a0=0:
∑n=0∞(−1)n(∑i=1n−1i(n−i)1).
Es ist nun ∑i=1n−1i(n−i)1≥(n−1)⋅n2→2 für n→∞.
Daher ist das notwendige "Trivialkriterium" für die Konvergenz verletzt.