Bestimme den Grenzwert von lim x->0 mit cosinus und sinus im Bruch

Question

Aufgabe:

Bestimme den Grenzwert von

Lim (1/(1-cos(x))-sin(x)/(x(1-cos(x)))

X->0

Problem/Ansatz:

Also man könnte den Bruch zusammenziehen und würde dann erhalten

x/(x(1-cos(x)) - sin(x)/(x(1-cos(x)))

Jetzt könnte ich die Regel von L‘hopital anwenden, aber da drehe ich mich die ganze zeit im Kreis, ich muss ja die Produktregel anwenden und da kommen noch mehr sinus und cosinus dazu. Jetzt weiß ich nicht wie ich eine solche Aufgabe lösen könnte.

Answer 1

Wolfram alpha sagt 1/3

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+Lim+%28x-sin%28x%29%29%2F%28x%281-cos%28x%29%29%29x+to0

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x -sin(x)}{(1-cos(x))x} $$

$$u(x)=x -sin(x)$$$$u'(x)=1-cos(x)$$$$u''(x)=sin(x)$$$$u'''(x)=cos(x)$$

$$v(x)=(1-cos(x))x$$$$v'(x)=sin(x)*x+1-cos(x)$$$$v''(x)=cos(x)x+sin(x)+sin(x)$$$$v'''(x)=-sin(x)x+cos(x)+cos(x)+cos(x)$$$$v'''(x)=-sin(x)x+3*cos(x)$$

$$\lim\limits_{x\to0}\frac{x -sin(x)}{(1-cos(x))x}= $$
$$\lim\limits_{x\to0}\frac{cos(x)}{-sin(x)*x+3cos(x)} →\frac{1}{3}$$

Comments

Ich hatte Zeit, um die Antwort zu ergänzen.

Answer 2

Hallo,

Bilde zuerst den Hauptnenner und verwende 3 Mal L'Hospital

Hauptnenner : \( \lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{x -sin(x)}{(1-cos(x))x} \)

3 mal Zähler und Nenner ableiten:

3. Ableitung:

\( \lim\limits_{x\to0} \) \( \frac{cos(x)}{3 cos(x) -x sin(x))} \)

Lösung: 1/3