Sinus und Cosinus Grenzwerte berechnen: a) lim(x-->0) von (x^2*cos(1/x))/sin(x), b) lim (x-->0+) von cos(x)/x

Question

Ich bräuchte bei folgenden Aufgaben  Hilfe:

Berechne den Grenzwert von

a) lim(x-->0) von (x^2*cos(1/x))/sin(x)

b) lim (x-->0+) von cos(x)/x

Weiß echt nicht mehr weiter und hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schon mal im Voraus!

LG

Tom

Comments

Versuchs mal mit der Reihenentwicklung vom Sinus und Kosinus um 0. Fang mit der b) an ist viel einfacher. Man kann dann, das x im Nenner kuerzen.

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die Aufgabe b.) schon einmal etwas einfacher

b) lim (x-->0+) von cos(x)/x

  - der cos(x) geht gegen1
  - x geht gegen 0(+)
  1/0(+) = + unendlich.

  mfg Georg

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Meinst du so, quarim?


b)

lim(x-->0)   (Summe(0)(unendlich) (-1)^n*(x^2n/2n!))   / x

= lim(x-->0)  (Summe(0)(unendlich) (-1)^n*(x^{2n-1}/2n!)


und wie mache ich hier dann weiter?


Tom

Answer 1

b)

lim (x-->0+) COS(x)/x = 1/0⁺ = ∞

a) 

lim (x-->0+) x^2·COS(1/x)/SIN(x)

Ich weiß nicht genau ob es hier erlaubt ist |COS(1/x)| nach oben mit 1 abzuschätzen.

lim (x-->0+) x^2 / SIN(x)

L'Hospital

lim (x-->0+) 2·x / COS(x) = 0

Comments

@mathecoach

" Ich weiß nicht genau ob es hier erlaubt ist |COS(1/x)| nach oben mit 1 abzuschätzen. "

lim x -> 0+ von 1 / x  = 1 / 0+ = ∞
COS(∞) : kann meiner Meinung nach kein fester Wert zugeordnet werden.
Der Wert schwankt zwischen -1 und +1

x²·COS(1/x) / SIN(x) wäre 0 / 0 also könnte man L´Hospital
anwenden was dann zu. [ 2*x * cos(1/x) + sin(1/x) ] / cos(x)  führt.
Bei x -> 0+  wäre

  - der Nenner 1
  - der Zähler schwankt zwischen -1 und +1

   mfg Georg

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@Georg,

Du hast x^2 als Vorfaktor von sin(1/x) vergessen.

 

Allgemeines Vorgehen bei sowas:

lim_x->0 2xcos(1/x)

Mit 1/x = t und t->∞

lim_t->∞ 2cos(t)/t = 0

 

Das gleiche Spiel mit dem Sinus. Man hat halt t^2 im Nenner ;).

 

Führt insgesamt direkt auf den Grenzwert 0 ;).

Grüße

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Wenn man L'Hospital anwendet dann gibt es keinen Grenzwert. Wie du gesagt hast, wäre das undefiniert irgendwas zwischen -1 und 1.

Wolframalpha gibt aber für die Originalfunktion einen Grenzwert von Null an. Daher dei Idee von mit COS mit max. 1 abzuschätzen. Denn wenn der Zähler kleiner wird, dann wäre ja der Grenzwert auch kleiner.

So meine Idee.

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Georg hat nach L'Hospital die Ableitung des Zählers gemacht und die ist mit
2·x·COS(1/x) + SIN(1/x)

völlig richtig. Da haben wir Leider keinen Faktor mehr vor dem Sinus.

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Ah sry. Das hatte ich ubersehen.

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Meine Frage wäre dann: Warum darf man hier L'Hospital nicht anwenden.

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l'Hospital kann sobald angewendet werden, wie es einen endlichen Wert gibt. Möglicherweise führt er nicht direkt zum Ziel.

Habs zwar nicht probiert, aber die Reihenentwicklung scheint mir auch als naheliegenster Lösungsweg.

Oder Deine Abschätzung ;).

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Das Problem das ich mit L'Hospital habe

lim (x-->0+) x²·COS(1/x) / SIN(x)

L'Hospital

lim (x-->0+) (2·x·COS(1/x) + SIN(1/x)) / COS(x)

lim (x-->0+) 2·x·COS(1/x) / COS(x) + SIN(1/x) / COS(x)

lim (x-->0+) SIN(1/x) / COS(x)

So das hat jetzt aber keinen definierten Grenzwert. Also wo ist der Haken an der Sache?