Sei λ∈K\{0}. Dann ist auch (λv1,v2,...,vn) eine Basis von V.

Question

Hallo, ich habe ein Problem bei der Aufgabe. Ich weiß nicht genau wie ich einen mathematisch korrekten Beweis dazu formuliere. Ich habe mal mit Worten versucht anzufangen, habe aber keine Ahnung ob das überhaupt in die richitge Richtung geht und ich glaube auch dass das zu wenig mathematisch und zu kurz ist.

Wäre super gut wenn mir jemand helfen könnte:

Aufgabe:

Sei (v1,...,vn) mit n≥1 eine Basis des K-Vektorraums V. Zeigen Sie:

Sei λ∈K\{0}. Dann ist auch (λv1,v2,...,vn) eine Basis von V.

Anfang was ich beweisen muss:

Es gibt zwei Anforderungen an (λv1, v2, v3,...,vn), damit es eine Basis von V ist.

1. Es muss immer noch linear unabhängig sein: Ist es, da λv1 jetzt einfach nur ein Vielfaches von v1 ist, das ja aber nichts an der linearen Unabhängigkeit ändert, da λv1 quasi immer noch der gleiche Vektor wie v1 ist, nur länger (falls λ > 1) oder kürzer (falls λ < 1).

 2. Es muss immer noch ein Erzeugendensystem von V sein: ?

Answer 1

Das sind die Eigenschaften die Du nachweisen musst, siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Basis_(Vektorraum)

Comments

Danke schonmal, aber ich frage mich wie genau ich das hier bei meiner Aufgabe machen soll?

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Ein Beispiel. Sei \( w \in V \) dann gibt es eine Darstellung von \( w \) als

$$ w = \sum_{k=1}^n \alpha_k v_k $$ weil die \( v_k \) eine Basis bilden. Weil \( \lambda \ne 0 \) gilt, folgt $$ w = \tilde \alpha_1 (\lambda v_1) + \sum_{k=2}^n \alpha_k v_k $$ mit \( \tilde \alpha_1 = \frac{\alpha_1}{\lambda} \) ist ebenfalls eine Darstellung von \( w \). Damit ist (1) aus dem Link nachgewiesen.

Der Rest geht wahrscheinlich ähnlich.