Die Ableitung der Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Die Ableitung der Exponentialfunktion

Problem/Ansatz:

a) Zeichnen Sie mit dem GTR für verschiedene Zahlen a mit 1 < a < 5 in einem Fenster die Graphen von
f(x) = a* und f '(x)

′Vergleichen Sie nun jeweils f und f`' für unterschiedliche a´s und nennen Sie
Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
b) Begründen Sie, dass offensichtlich ein proportionaler Zusammenhang zwischen
fa(x) und der Ableitung besteht, d.h.:
f ' a(x) = k ∙ fa(x)

c) Bestimmen Sie möglichst genau diejenige Zahl a, bei der die beiden Graphen von f und f ' gleich sind.

Answer 1

Hallo

da geht doch was vorher?  ihr habt irgendwie die Ableitungsfunktion von a^x erhalten? Wie? GTR? geogebra? Grenzwert der Sehnensteigung?

wie sollen wir helfen, wenn völlig unklar ist was du vor dir hast? und was sollen die 2 dicken ? am Ende

Gruß lul

Comments

Sehe gerade das es abgeschnitten ist. Verbessere es sofort

Answer 2

b)

$$f(x)=a^x$$

$$ f'(x)=  \lim\limits_{h\to0} \frac{a^{(x+h)}-a^x}{h} =$$

$$\lim\limits_{h\to0} \frac{a^x*a^h-a^x}{h} =$$$$\lim\limits_{h\to0} \frac{a^x*(a^h-1)}{h} =$$$$a^x*\lim\limits_{h\to0} \frac{a^h-1}{h} $$$$f(x)=f'(x)←→\lim\limits_{h\to0} \frac{a^h-1}{h} =1$$

c)

e-Funktion, also die Exponentialfunktion $${\displaystyle x\mapsto e^{x}}x \mapsto e^x mit der eulerschen Zahl {\displaystyle e=2{,}718\,281\,828\,459\dotso }e = 2{,}718\,281\,828\,459\dotso als Basis;$$

aus

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

Comments

Hätten sie für c) eine genauere Erklärung? Das versteh ich noch nicht so ganz

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e ist die Eulersche Zahl, also 2,71828...

f(x)=e^x= f'(x)

Ich habe keine Ahnung vom GTR, doch wenn du die Eulersche Zahl als Basis nimmst. Dann sollte die

f(x)= e^x und f'(x)= e^x sein.