helpmathe schrieb:
können Sie mir das auch nochmal schritt für schritt erklären?
Gesucht ist eine Ebene, die zwischen den Geraden \(h\) und \(g\) liegt, zu beiden parallel ist und von beiden den gleichen Abstand hat.
Wie oswald schon beschrieben hat, berechne den Mittelpunkt \(M\) der Strecke zwischen den beiden Aufpunkten der Geraden:$$M = \frac 12 (P_g + P_h) = \frac 12 \left( \begin{pmatrix}8\\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\ -6\\ 0\end{pmatrix}\right) \\ \quad = \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} $$Dieser Punkt \(M\) ist bereits ein Punkt der Ebene. Ich habe mal versucht, dies bildlich darzustellen:
Die beiden Geraden \(g\) (gelb) mit rotem Richtungsvektor und \(h\) (grün) mit blauem Richtungsvektor verlaufen windschief. D.h. sie haben keinen Schnittpunkt und sind nicht parallel. Alle Mittelpunkte einer beliebigen Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden liegt in der gesuchten Ebene (grün).
Mit der Kenntnis vom Punkt \(M\) kann man die Parameterform der gesuchten Ebene \(E\) sofort hinschreiben.$$E: \space \vec x = \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}s$$Man übernimmt einfach die beiden Richtungsvektoren (rot & blau im Bild) als Richtungsvektoren dieser Ebene.
Nun ist aber nach der parameterfreien Form gefragt. Dazu bildet man das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Das Ergebnis ist der Normalenvektor \(\vec n\):$$\vec n = \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1\\ 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1\\ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix}$$Die Normalenform bzw. Koordinatenform ist dann$$E: \quad \vec n \cdot \vec x = \vec n \cdot \vec m$$\(\vec m\) ist der Ortsvektor - in Zahlen:$$E: \quad \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix} \vec x = \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ -3\\ 0\end{pmatrix} \\ \quad = 1 \cdot (-4) + (-1)\cdot (-3) + 2 \cdot 0 = -1$$oder eben in der Koordinatenform:$$E: \quad -x-y+2z=-1$$was aber dasselbe ist, nur in einer anderen Schreibweise.
Wichtig: Mache Dir ein Bild! klicke oben auf das Bild und rotiere anschließend die Szene mit der Maus. Es ist extrem hilfreich einen räumlichen Eindruck davon zu bekommen. Und frage möglichst konkret nach, was genau Du nicht verstanden hast.
