Hallo. Ich sitze jetzt bereits seit Stunden an der Aufgabe und bin kein Schritt weiter, da ich nicht mal Ansätze finde, wie ich das beweisen kann. Ich bedanke mich schon mal im Voraus.
Aufgabe:
Seien V,W zwei K-Vektorräume und X=x0+U⊂V,Y=y0+U′⊂W affine Unterräume. Eine Abbildung f:X→Y heißt affin, wenn eine K-lineare Abbildung F:U→U′ existiert mit
f(x0+u)=f(x0)+F(u) für alle x0+u∈X.
Zeigen Sie:
1. F ist durch f eindeutig bestimmt und es gilt f(x)−f(x′)=F(x−x′) für alle x,x′∈X.
2. f ist genau dann injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv), wenn F es ist.
3. Fasst man V,W selbst als affine Räume auf, dann ist eine Abbildung f:V→W affin, wenn eine K-lineare Abbildung F:V→W existiert mit f(v)=f(0)+F(v) für alle v∈V.
4. Sind V=Kn und W=Km, so lässt sich eine affine Abbildung f:Kn→Km wie folgt beschreiben: Es existiert ein b∈Km und eine Matrix A∈Mat(m×n;K), sodass
f(x)=b+A⋅x für alle x∈Kn.
