wie löst man das Integral \int_{}^{} \! m\dot x\ddot x dt?

Question

Aufgabe:

$$\int_{}^{} \! m\dot x\ddot x dt $$

mit x'= dx/dt

Problem/Ansatz:

in der Lösung steht 1/2mx'^2

wie kommt man drauf?

Answer 1

Aloha Darklight92 ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Wenn du dir den Integranden ansiehst, stellst du fest, dass er das Produkt aus der Ableitung einer Funktion \(\ddot x\) und der Funktion \(\dot x\) enthält. Da liegt also quasi die Kettenregel der Differentialrechnung vor uns. Das können wir leicht "rückgängig" machen:$$\int m\ddot x\dot x\,dx=\frac{1}{2}m\,\dot x^2+\text{const}$$

Allgemein gilt:$$\int f'(x)\cdot f(x)\,dx=\frac{1}{2}\left[f(x)\right]^2+\text{const}$$

Comments

das macht total sinnnnn... habe gerade ne halbe seite voll geschrieben... so ists besser...

Answer 2

wie kommt man drauf?

z.B. mit viel Erfahrung. Um diese Erfahrung zu erwerben: Leite die angegebene Stammfunktion mal ab.

Comments

vielen vielen DANK!