Kubische Funktionsgleichung aufstellen mit 2 Punkten

Question

Aufgabe

Erstelle eine kubische Funktion mit den Punkten P(0/2) und Q(3/4). Zudem ist bei x=-5 ein Wendepunkt.

Problem/Ansatz:

Ich sitze jetzt schon länger an dieser Frage und habe bis jetzt

f(0)=2

f(3)=4

somit ergeben sich die Gleichungen

a+b+c+d=2

27a+9b+3c+d=4

doch um das dann mit der Matrix zu berechnen brauche ich 4 Gleichungen. Wie komm ich auf die anderen 2?

Comments

alle Funktionen in diesem Plot ...

~plot~ {0|2};{3|4};x=-5;0.005168x^3+0.07752x^2+0.3876x+2;0.002564x^3+0.03846x^2+0.5282x+2;0.00487x^3+0.06731x^2+0.4244x+2;0.01026x^3+0.1538x^2+0.1128x+2;[[-14|5|-3|8]] ~plot~

... gehen durch besagte Punkte und haben die Wendestelle bei \(x=-5\)

Answer 1

Wie komm ich auf die anderen 2?

MIt den beiden Eigenschaften des Wendepunktes.

Comments

Ich sehe gerade, man hat nur die x-Koordinate vom Wendepunkt. Also gibt es eine Schar von kubischen Funktionen.

Answer 2

Wie komm ich auf die anderen 2?

Wieso glaubst du, dass du insgesamt 4 Gleichungen benötigst?

Die Aufgabe lautet NICHT "Erstelle die Kubische Funktion...", sondern "Erstelle eine kubische Funktion...",

Es gibt eine ganze Schar von Funktionen, dern Graphen durch die beiden Punkte verlaufen und bei x=-5 einen Wendepunkt haben. Stelle noch die dritte Gleichung auf und dann löse das GS mit einem freien Parameter.

Answer 3

Erstelle eine kubische Funktion mit den Punkten P(0/2) und Q(3/4). Zudem ist bei x=-5 ein Wendepunkt.

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\ f'(x)=3ax^2+2bx+c\\ f''(x)=6ax+2b\\ P(0|2) \Longrightarrow d=2\\ Q(3|4) \Longrightarrow 4=27a+9b+3c+2     \Longrightarrow  2=27a+9b+3c~~~~~(1)  \\ x_W=-5 \Longrightarrow 0=-30a+2b\Longrightarrow b=15a~~~~~(2)$$

Wenn es keine weiteren Bedingungen gibt, kannst du einen Wert frei wählen. Verboten ist nur a=0.

Sei a=1/3

(2) → b=5

(1) → 2=9+45+3c → c=-52/3

$$ f(x)=\frac{1}{3}x^3+5x^2-\frac{52}{3}x+2$$

Allgemein:

(2) in (1) einsetzen:

2=27a+135a+c

c=(2-162a)/3

$$ f(x)=ax^3+15ax^2+\frac{2-162a}{3}x+2$$