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Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu lösen:




Wir betrachten die Abbildung f : R2 → R2 mit f(x, y) = \( \begin{pmatrix} x^2-y^2\\2xy \end{pmatrix} \)

(A) Zeigen Sie, dass f surjektiv ist.
(B) Zeigen Sie, dass zu jedem Punkt (x, y) ≠ (0, 0) genau 2 Urbilder existieren.


Könnte mir bitte jemand helfen?



Vielen Dank im Voraus

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Sei (a,b) ∈ ℝ^2 . zu zeigen:

Es gibt (a,b) ∈ ℝ^2 mit f(x,y)=(a,b) . Dazu muss gelten

x^2 - y^2 = a    #   und 2xy = b

(x-y)(x+y)=a  und  2xy = b

                       ==>  y =  b / (2x)

x^2 - b^2 / (4x^2) = a

4x^4 - b^2 = 4x^2 * a

4x^4 -  4x^2 * a  - b^2  = 0  

x^4 - a *x^2  - b^2 /4  = 0

x^2 =  a/2 ± √ ( a^2 / 4 + b^2 /4 ) =   0,5a ± 0,5√ ( a^2+ b^2)  ##

Und die Wurzel liefert immer einen Wert, der größer als der Betrag

von a ist, außer im Falle a=b=0 da gibt es 0.

Also hat man im Falle a=b=0 für x^2 =0 also x=0 und wegen #

auch y^2 = 0 , also y=0 .  In diesem Fall also nur genau ein Urbild.

Falls mindestens einer von a oder b nicht 0 ist, ist ja a^2 + b^2 > 0

also ergibt sich bei ##  x^2 =   0,5a ± 0,5√ ( a^2+ b^2)

wobei einer der beiden Werten pos. und der andere negativ ist;

denn die Wurzel liefert ja etwas, was größer als |a| ist.

Somit hat man einmal, das x^2 = etwas positivem ist ,

also gibt es genau zwei Lösungen für x und mit  2xy = b

also genau einen Wert für y .  Also immer genau zwei

Urbilder.

Avatar von 287 k 🚀

Hallo, vielen Dank für deine Ausführungen.


Kannst du mir nochmal die Stelle deutlich machen, wo a und b sich trennen? Dies geht mir nicht so ganz aus den Ausführungen hervor. Oder ist dies komplett teil b?

Ich habe gezeigt, dass zu jedem Punkt (x, y) ≠ (0, 0) genau 2 Urbilder existieren. Und zu (0,0) genau eines.

Also gibt es zu jedem Punkt ein Urbild

==>  f ist surjektiv.

Also schreibt man besser erst die Lösung zu b) und dann

die zu a) auf.

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