Sei (a,b) ∈ ℝ^2 . zu zeigen:
Es gibt (a,b) ∈ ℝ^2 mit f(x,y)=(a,b) . Dazu muss gelten
x^2 - y^2 = a # und 2xy = b
(x-y)(x+y)=a und 2xy = b
==> y = b / (2x)
x^2 - b^2 / (4x^2) = a
4x^4 - b^2 = 4x^2 * a
4x^4 - 4x^2 * a - b^2 = 0
x^4 - a *x^2 - b^2 /4 = 0
x^2 = a/2 ± √ ( a^2 / 4 + b^2 /4 ) = 0,5a ± 0,5√ ( a^2+ b^2) ##
Und die Wurzel liefert immer einen Wert, der größer als der Betrag
von a ist, außer im Falle a=b=0 da gibt es 0.
Also hat man im Falle a=b=0 für x^2 =0 also x=0 und wegen #
auch y^2 = 0 , also y=0 . In diesem Fall also nur genau ein Urbild.
Falls mindestens einer von a oder b nicht 0 ist, ist ja a^2 + b^2 > 0
also ergibt sich bei ## x^2 = 0,5a ± 0,5√ ( a^2+ b^2)
wobei einer der beiden Werten pos. und der andere negativ ist;
denn die Wurzel liefert ja etwas, was größer als |a| ist.
Somit hat man einmal, das x^2 = etwas positivem ist ,
also gibt es genau zwei Lösungen für x und mit 2xy = b
also genau einen Wert für y . Also immer genau zwei
Urbilder.
