Anwendung von Zwischenwertsatz

Question

Aufgabe:

Die Temperatur auf dem Äquator sei beschrieben durch die stetige Funktion T : [0, 1] → R
mit T(0) = T(1). Zeigen Sie: Es gibt gegenüberliegende Punkte auf dem Äquator, die die selbe
Temperatur haben, d.h. es gibt x1, x2 ∈ [0, 1] mit x2 = x1 +0,5
und T(x1) = T(x2).

Problem/Ansatz:

Man muss ja irgendwie zeigen, dass T(x2)-T(x1)=0 ist mithilfe von T(1)-T(0)=0. Wie kann ich den Zwischenwertsatz hier verwenden?

Answer 1

Sei $d: \left[0,\frac{1}{2}\right]\to \mathbb{R},\,x\mapsto T\left(x+\frac{1}{2}\right)-T(x)$.

Fall 1: $d(0) = 0$. Dann ist $T(0) = T\left(\frac{1}{2}\right)$.

Fall 2: $d(0) > 0$. Dann ist $d\left(\frac{1}{2}\right) < 0$, also $d(x) = 0$ für ein $x \in \left[0,\frac{1}{2}\right]$.

Fall 3: $d(0) < 0$. Analog zu Fall 2.

Comments

Dass d(x) =0 ist liegt an den Zwischenwertsatz oder? Also bei den zweiten und dritten fall

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Ja, zusammen mit der Tatsache, dass $d$ als Differenz von stetigen Funktionen stetig ist.

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Wäre dann d(1/2) >0 für fall 3?

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Ja, das ist richtig.

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Kannst du vielleicht nochmal erläutern warum z.b für fall 2 d(1/2)<0 sein muss? Ich bin mir da noch unsicher

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$\begin{aligned} & d\left(\frac{1}{2}\right)\\=\,& T\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)-T\left(\frac{1}{2}\right)\\=\,& T(1) - T\left(\frac{1}{2}\right)\\=\,& T(0)-T\left(\frac{1}{2}\right)\\=\,& -\left(T\left(\frac{1}{2}\right)-T(0)\right)\\=\,& -d(0)\end{aligned}$

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Wieso hast du die T(1) mit T(0) ersetzt?( ich weiß dass T(1)=T(0) ist, nur verstehe ich den grund nicht für die rechnung)

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Wieso hast du die T(1) mit T(0) ersetzt?

Weil das ein geeignetes Mittel ist, die Aussage

        $d\left(\frac{1}{2}\right) = -d(0)$

zu beweisen.

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Ok danke habe es jetzt verstanden