Aufgabe:
Zeige das mindestens ein y ∈ (0,∞) existiert, sodass f(y)=0, wobei f:(0,∞)→ℝ, f(x):=ln\( \frac{1}{x} \)+\( \frac{1}{x} \)
Problem/Ansatz:
Es gilt f(x):=ln\( \frac{1}{x} \)+\( \frac{1}{x} \) = ln(1) - ln(x) + \( \frac{1}{x} \) = - ln(x) + \( \frac{1}{x} \)
Sei nun a = 1 und b = e. Dann ist [1, e] ⊂ (0,∞).
Des Weiteren ist dann f(a) = f(1) = 1 > 0 und f(b) = f(e) = -1 + \( \frac{1}{e} \) < 0 (da \( \frac{1}{e} \) < 1). Also gilt auch f(a) > f(b).
Des Weiteren sei erwähnt, dass f stetig ist als Komposition stetiger Funktionen.
Folglich existiert nach dem Zwischenwertsatz zu jedem z ∈ (f(a),f(b)) ein y ∈ (1,e), sodass f(y) = z.
Also muss es auch ein y ∈ (1,e) geben, sodass f(y) = 0, was zu zeigen war.
Ist die Lösung so korrekt?
