Gegeben ist folgende Funktion: F(x,y) = 11 x2 + 2xy + 9y2...

Question

Aufgabe: Gegeben ist folgende Funktion:

F(x,y) = 11 x² + 2xy + 9y²

Stelle a = (2,1)

Geben Sie die approximative Veränderung von x an, wenn sich y um 0,4 Einheiten verringert.

Problem/Ansatz: Hallo, wie geht man hier vor? LG

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Geben Sie die approximative Veränderung von x an

Wirklich?

Oder geht es um  die approximative Veränderung von F(x)?

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ich muss die approximative Veränderung von F(x) herausfinden, unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F(a)

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Veränderung von F(x)     Beibehaltung des Niveaus der Funktion F(a)

Beides widerspricht sich!

Gemeint ist wohl doch  Veränderung von x

(vgl. meine Antwort)

Answer 1

Hallo Laura,

$\textcolor{blue}{ΔF =} \dfrac{δF}{δx}(2,1)·Δx + \dfrac{δF}{δx}(2,1)·Δy \textcolor{blue}{= 0}$  weil sich das Produktionniveau nicht ändert.

mit $\dfrac{δF}{δx}(x,y) = 22x+2y$  ,  $\dfrac{δF}{δy}(x,y)=2x+18y$   [ partielle Ableitungen ]

und Δy = - 0,4     kannst du dann  die approximative Veränderung Δx ausrechnen.

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang, danke für deine ausführliche Antwort! Ich komme dann auf Δx = -0,8

kann das sein?

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(22*2 + 2*1) * Δx + (2*2 + 18*1) * (-0.4) = 0

→  Δx ≈ 0,19

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Danke habs jetzt verstanden :) Muss noch die a) Momentane Änderungsrate (von x bei Verringerung von y um eine marginale Einheit) und die b) Exakte Veränderung von x, wenn sich y um 0,4 Einheiten verringert berechnen.

Ich bekomme für a) -0,48 raus ( F' =  F2/ F1) und für b) - 0,4 raus. Meinst du meine Lösungen stimmen?

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Da müsstest du mir bei a) dann doch mal den genauen Wortlaut der Aufgabenstellung angeben.

bei b) sollte mit 'Exakte Veränderung von x' wohl

F(2,1) - F(2+Δx , y+Δy)  mit Δy = - 0,4      gemeint sein

Bei konstantem Niveau hat man dann

11·2² + 2·2·1 + 9·1² - (11·(2 + Δx)² + 2·(2 + Δx)·(1 - 0.4) + 9·(1 - 0.4)²)  = 0

→    Δx  ≈ 0,157   oder  Δx ≈ -4,266 

Answer 2

Man kann es gut über die Implizite Differentiation machen

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

F(x, y) = 11·x² + 2·x·y + 9·y²

Fx = 22·x + 2·y
Fy = 2·x + 18·y

-Fy/Fx = -(2·x + 18·y)/(22·x + 2·y)

an der Stelle (2, 1)

-Fy/Fx = -(2·2 + 18·1)/(22·2 + 2·1) = - 11/23

Bei einer Veränderung um -0.4 also

- 11/23 * (- 0.4) = 22/115 = 0.1913043478

PS: Eigentlich ist das nur die Formel die aus der Herleitung von Wolfgang folgt.

Comments

hey Mathecoach, danke für die Antwort! das heißt die exakte Veränderung und die approximative Veränderung sind in diesem Fall identisch?

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Nein. Die approximative Änderung bestimmt man mit der Tangentensteigung. Die exakte durch die Veränderung der Funktionswerte

Also exakt:

f(2 + x, 1 - 0.4) - f(2, 1) = 0 --> x = 0.1568450432 ∨ x = -4.265935952

Approximativ waren das

x = 0.1913043478

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Alles klar danke dir!!