Integral ausrechnen mit Substitution

Question

Aufgabe:

Integral von (sin(wurzelx/wurzel(x)

Problem/Ansatz

Unklares Vorgehen um die Aufgabe zu lösen!

Das Resultat gibt gemäss einem Integralrechner -2cos(Wurzel(x))

Den Lösungsweg verstehe ich jedoch nicht.

Comments

(sin(wurzelx/wurzel(x)=sin\( \frac{√x}{√x} \) ? oder wie gehören die Klammern?

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_{Nein der sinus ist über dem Bruchstrich mit dem einen Wurzel(x), im Nenner ist nur Wurzel(x)}

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Du suchst \( \int\limits_{}^{} \) \( \frac{sin(√x)}{√x} \)?

Answer 1

Aloha Salei ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Leider hast du keine eindeutige Klammerung angegeben. Ich vermute daher, du suchst:

$$I=\int\frac{\sin\left(\sqrt x\right)}{\sqrt x}\,dx=2\int\frac{1}{2\sqrt x}\,\sin\left(\sqrt x\right)\,dx$$Ich habe das Integral etwas anders aufgeschrieben. Die \(2\) vor dem Integral kürzt sich mit der \(2\) im Nenner weg. Für die Ableitung der Wurzelfunktion gilt:$$\left(\sqrt x\right)'=\left(x^{1/2}\right)'=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}$$Vor dem Sinus steht also die Ableitung des Arguments \((\sqrt x)\).

Substituiere nun wie folgt:$$u\coloneqq\sqrt x\implies \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt x}\implies dx=2\sqrt x\,du$$Dann wird das Integral zu:$$I=2\int\frac{1}{2\sqrt x}\sin(u)\,2\sqrt x\,du=2\int\sin(u)\,du=-2\cos(u)=-2\cos(\sqrt x)$$Bitte die Integrationskonstante nicht vergessen ;)

Comments

Du hast an Ende die 2 vergessen.

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Danke dir, Hogar, ich hab's repariert ;)

Answer 2

Integral ausrechnen mit Substitution

\(\int\limits_a^b\varphi'(x)f(\varphi(x))\mathrm{d}x=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)\mathrm{d}t\)

Integral von (sin(wurzelx/wurzel(x)

Setze

        \(\varphi(x)=\sqrt{x}\)

        \(f(t)=\sin(t)\)

ein.