Problem beim Umformen in einer Induktionsaufgabe

Question

Text erkannt:

(ii) Induktionsanfang: $n=1$
$$\sum \limits_{k=1}^{1} 4 k(-1)^{k}=-4=-3-1$$
Induktionsschritt: $n \sim n+1$
$$\begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} 4 k(-1)^{k} &=\sum \limits_{k=1}^{n} 4 k(-1)^{k}+4(n+1)(-1)^{n+1} \\ &=(2 n+1)(-1)^{n}-1+4(n+1)(-1)^{n+1} \quad \text { (Induktionsannahme) } \\ &=(2 n+1-4 n-4)(-1)^{n}-1=(-2 n-3)(-1)^{n}-1 \\ &=(2(n+1)+1)(-1)^{n+1}-1 \end{aligned}$$

Problem/Ansatz

Habe die Aufgabe soweit verstanden, verstehe nur nicht wie man von der Induktionsannahme wie abgebildet zusammenfasst, also wie man auf den zweiten gelb markierten Teil kommt. Außerdem ist mir nicht klar wie der letzte Umformungsschritt funktioniert, hier wäre mein Ansatz (-2(n+1)-1)*(-1)ⁿ-1, aber in diesem Fall hat man nicht das ⁿ+1.

,

Manuel

Lg Manuel

Answer 1

(2·n + 1)·(-1)ⁿ - 1 + 4·(n + 1)·(-1)^(n + 1)

= (2·n + 1)·(-1)ⁿ + 4·(n + 1)·(-1)^(n + 1) - 1

= (2·n + 1)·(-1)ⁿ + (4·n + 4)·(-1)^(n + 1) - 1

= (2·n + 1)·(-1)ⁿ + (- 4·n - 4)·(-1)ⁿ - 1

= (2·n + 1 - 4·n - 4)·(-1)ⁿ - 1

= (- 2·n - 3)·(-1)ⁿ - 1

= (2·n + 3)·(-1)^(n + 1) - 1

= (2·(n + 1) + 1)·(-1)^(n + 1) - 1

Comments

nochmal vielen dank für die Antwort. Verstehe den Rechenweg jetzt schon viel besser, nur der Schritt wo aus (4·n + 4)·(-1)^(n + 1) -> (- 4·n - 4)·(-1)n wird ist mir nicht ganz klar, wie genau funktioniert diese Umformung?

Ich hoffe du hattest schöne Weihnachtstage,

Manuel

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(4·n + 4)·(-1)^(n + 1) - 1

Nutze: a^(n + 1) = a·aⁿ

= (4·n + 4)·(-1)·(-1)ⁿ - 1

Nutze: a·(- 1) = - a

= (- 4·n - 4)·(-1)ⁿ - 1