Question

Finde mit Hilfe der Z-Transformation eine Lösung der Differenzengleichung

y_n+2 − 5y_n+1 + 6y_n = 2n − 5, y₀ = 1, y₁ = 5

Answer 1

Die Z-Transformierte ist $$ Y(z) = \frac{ z^2 - \frac{ 5z }{z-1} +\frac{2z }{(z-1)^2} }{ z^2 -5z +6  } $$

Partialbruchzerlegung liefert $$ Y(z) = \frac{1}{(z-1)^2} +\frac{2}{z-2} + \frac{3}{z-3} + 1 $$ Rücktransformation ergibt

$$  y_n = 2^n + 3^n +n -1 $$

Sollte man nochmal durch einsetzten nachprüfen.