Wie berechne ich systematisch Grenzwerte von Folgen?

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Grenzwerte dieser zwei Folgen:

a) \(a_n = \frac{n+4n-n^5}{n^3+3n^5-2n} \)

b) \(b_n =  \sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+2} \)

Problem/Ansatz:

Also für a) habe ich -1/3 und für b) 0. Ich habe es online berechnen lassen und es stimmt. Nur weiß ich nicht, wie man systematisch Grenzwerte berechnet. Ich schaue immer, welcher der Terme am schnellsten wächst, bei a) ist das n^5 - dieser Term taucht im Zähler sowie im Nenner auf. Die restlichen Terme ignoriere ich, also erhalten wir -n^5/3n^5. Da eine Zahl durch sich selbst geteilt 1 ergibt, erhalten wir -1/3.

Dasselbe Spiel für b) n^2 wächst am schnellsten also können wir +4 und +2 ignorieren. Dann hätten wir zwei Terme die identisch sind und eine Zahl minus sich selbst ergibt 0. Dementsprechend ist der Grenzwert 0.

Also bislang gehe ich intuitiv an diese Probleme heran, aber ich bin mir nicht sicher, ob diese Herangehensweise auch bei größeren Termen klappt, also wollte ich euch mal fragen, wie man systematisch einen Grenzwert einer Folge berechnen würde

Answer 1

Zu a) Klammere jeweils im Zähler und Nenner die größte Potenz aus.

Zu b) Erweitere den Ausdruck mithilfe der dritten binomischen Formel.

Comments

Ich fange erst gerade mit dem Thema an und verstehe nicht ganz, worauf du hinausmöchtest. Könntest du möglicherweise eine Rechnung mit ein paar Erklärungen hinterlassen, sodass ich ihr folgen und sie nachvollziehen kann? Das würde meinem Verständnis sehr helfen.

---

Zu a) \(a_n = \frac{n+4n-n^5}{n^3+3n^5-2n}=\frac{-n^5+5n}{3n^5+n^3-2n}=\frac{n^5(-1+5n^{-4})}{n^5(3+n^{-2}-2n^{-4})}\\=(-1+5n^{-4})\cdot \frac{1}{3+n^{-2}-2n^{-4}}\)

Betrachte die Klammerausdrücke einzeln. Was sind ihre Grenzwerte?

Zu b) \(b_n =  \sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+2}\\=\frac{(\sqrt{n^2+4} - \sqrt{n^2+2})\cdot (\sqrt{n^2+4} + \sqrt{n^2+2})}{\sqrt{n^2+4} + \sqrt{n^2+2}} \)

Einfach mal ausrechnen und genau hinschauen.

---

a) Habe ich nun verstanden bzw. sehe, dass -1/3 herauskommt.

b) rechne ich gleich aus.

Aber mal eine andere Frage:

Worauf kommt es bei einer Grenzwertberechnung an? Ich meine, meine Intuition hat anscheinend hier ausgereicht, um auf den Grenzwert zu kommen. Warum muss ich die anfängliche Folge so umformen wie du es getan hast bis die zwei Ausdrücke am Ende herauskamen? Man hätte ja auch weiter umformen können, auch wenn man den Grenzwert fast schon ablesen kann.

---

Also ein pauschales Rezept kann ich dir leider nicht anbieten. Man muss halt paar Sachen ausprobieren. Bei Brüchen kann es hilfreich sein, den dominierenden Term auszuklammern (das er dominiert muss ggf gezeigt werden...). Bei Wurzeltermen stört ja meist die Wurzel. Also kann man mithilfe der dritten binomischen Formel, wie bei b), erweitern. Dann hat man zumindest im Zähler keine Wurzelterme mehr. Wenn man nun aber garkeine Idee mehr hat, kann es hilfreich sein, die Folge durch zwei Folgen einzuschließen. Also man betrachtet zu einer Folge \(a_n\) zwei konvergente Folgen \(b_n\) und \(c_n\) derartig mit demselben Grenzwert, sodass ab einem \(N\in \mathbb{N}\) für alle \(n\geq N\) die Abschätzungskette \(b_n\leq a_n\leq c_n\) gilt. Dann hat auch \(a_n\) diesen Grenzwert. Das ganze wird auch gerne als Dreifolgesatz, Sandwhichsatz, oder dergleichen bezeichnet.