Grenzwerte von Folgen zeigen u.a. mit Sandwich-Lemma

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Folgen auch Konvergenz und geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an

Verwenden Sie gegebenenfalls das Sandwich-Lemma (musste man auf dem selben Übungsblatt beweisen.)

a) (a_n)_n∈ℕ mit a_n = (n³ - 6n + 1)/(3n³ + 9n²)

b) (b_n)_n∈ℕ mit b_n = (2ⁿ)/(n!)

c) (c_n)_∈ℕ mit c_n = (3n³ + 10n)/(10n² + n)

d) (d_n)_n∈ℕ mit d_n = sin (n)

Problem/Ansatz:

Grenzwerte

a) Der Grenzwerte von a) konnte ich mittels Grenzwertsätze erhalten und habe dafür 1/3 raus

b) Bei b) weiß ich noch nicht, wie ich da ran gehe. Mit dem Sandwich–Lemma brauche ich eventuell zwei Folgen, bei der die Werte der einen größer und die der anderen kleiner sind. Aber wie ich aif den Grenzwert selbst komme, weiß ich hier nicht

c) Normalerweise nimmt man ja den höchsten Exponenten raus, um so Nullfolgen zu erhalten. Würde ich n³ rausnehmen, würde ich im Nenner beim Grenzwert eine Null erhalten und glaube, dass man das so nicht machen darf.

Nehme ich n² raus dann würde ich so etwas wie 3n/10 erhalten, was dann divergent wäre. Bin mir aber auch hier etwas unsicher

d) sin(n) ist divergent, da es ständig Werte zwischen -1 und 1 annimmt, also quasi sin (n) ≈ (-1)ⁿ

Beweise

Leider habe ich nich gar kein Gefühl dafür entwickelt, wie man hier ran geht.

Ich habe zwar Musterlösungen, aber diese bringen mir auch nichts, wenn ich nich gar keine Ahnung habe, wie man an den Beweis ran geht. Bei a) steht beispielsweise

a) Für n≥1 ist

|a_n - 1/3| = |(n³ - 6n + 1- n³ - 3n²)/(3n³ + 9n²)|

             = |(3n² + 6n - 1)/(3n³ + 9n²)|           

               = (3n² + 6n - 1)/(3n³ + 9n²)

               < (3n² + 6n)/(3n³)

               ≤ (9n²)/(3n³)

               = 3/n

⇒ |a_n - 1/3| ist nach dem Sandwich Lemma eine Nullfolge, also ist 1/3 der Grenzwert der Folge (a_n)_n∈ℕ

Bei der ersten Gleichung verstehe ich nicht, wieso dort die 3 scheinbar raus dividiert wurde. Das wäre doch dann keine Äquivalenzumformung mehr.

Beim zweiten Schritt wurde, glaube ich, mit -1 multipliziert.

Und die kleiner Relation verstehe ich auch noch nicht.

Ich habe wie gesagt, noch gar keine Ahnung, wie man hier ran geht und wäre sehr dankbar für Hilfe :)

Comments

Hallo,

Bei der Lösung zur ersten Aufgabe ist verwendet:

$$\frac{1}{3}=\frac{n^3+3n^2}{3n^3+9n^2}$$

Deine Begründung bei d) ist falsch. Oder ist die Aufgabe falsch kopiert und es sollte heißen: \(\sin(n \pi)\)?

Gruß MathePeter

---

Danke für die Antwort :)

Bei der d) ist die Aufgabe richtig.

Die Musterlösung ist auch wesentlich komplizierter. Aber hatte gehofft, dass es vielleicht so einfacher gehen würde.

Answer 1

cn=\( \frac{3n^3 + 10n}{10n^2 + n} \)=\( \frac{3n^2 + 10}{10n + 1} \)

Mit l´Hospital:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)\( \frac{3n^2 + 10}{10n + 1} \)→\( \lim\limits_{n\to\infty} \)\( \frac{6n }{10} \)→∞

Text erkannt:

4

Comments

Danke für die Antwort :)

L‘hospital hatten wir da leider noch nicht, deswegen wollte ich das ohne L‘hospital lösen.

Answer 2

Hallo :-)

Bei b) kannst du zb ausnutzen, dass \(n!>3^n\) für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 7}\) gilt. Das kannst du über Induktion schnell zeigen.

Dann hast du zunächst

\(f_n:=0\leq b_n=\frac{2^n}{n!}\stackrel{n\geq 7}{<} \frac{2^n}{3^n}=\left (\frac{2}{3}\right)^n=\left( \frac{1}{\frac{3}{2}}\right)^n=\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^n}\).

Den Term \(\left(\frac{3}{2}\right)^n\) kannst du mit der Bernoullie-Ungleichung nachunten abschätzen:

\(\left(\frac{3}{2}\right)^n=\left(1+\frac{1}{2}\right)^n\geq 1+n\cdot \frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}n\)

Damit erhältst du weiter

\(\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^n}\leq \frac{1}{1+\frac{1}{2}n}\leq \frac{1}{\frac{1}{2}n}=\frac{2}{n}=2\cdot \frac{1}{n}=:g_n\).

Und jetzt nochmal: Mit obiger Ungleichungskette hat man

\(f_n=0\leq b_n=\frac{2^n}{n!}\leq \frac{2}{n}=g_n\) (*)

Sicherlich weißt du, dass \(\lim\limits_{n\to \infty} g_n=0\) gilt.

Und mit (*) folgt demnach \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n=0\).

Bei c) kannst du auch wieder mit Sandwhich argumentieren, indem du eine Folge \(h_n\) findest, die zwar kleiner ist als \(c_n\), aber dennoch divergiert:

\(c_n=\frac{3n^3+10n}{10n^2+n}=\frac{3n^2+10}{10n+1}\geq \frac{3n^2+10}{10n+10n}\geq \frac{3n^2+10}{20n}\geq \frac{3n^2}{20n}=\frac{3}{20}n=:h_n\)

Da \(\lim\limits_{n\to \infty} h_n=\infty\), folgt mit letzter Ungleichungskette, dass auch \(\lim\limits_{n\to \infty} c_n=\infty\) gilt.

Comments

Danke für deine Antwort :)

b) habe ich jetzte verstanden.

Bei der c) habe ich noch eine Frage.

Wie zeige ich denn, dass eine Folge divergiert?  Also ich könnte ja auch die Folge (h_n)_n = n wählen. Bei dieser weiß ich, dass sie divergiert, allerdings muss ich das ja auch erst einmal für (h_n)_n beweisen.

Darf ich immer das Sandwich-Lemma verwenden, wenn die Divergenz zu zeigen möchte?

---

Divergent heißt ja, dass keine Konvergenz vorliegt. Du kannst ja mal annehmen, dass \(h_n\) konvergent gegen \(g\) ist. Dann gilt:

\(\forall \varepsilon >0 \exists N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\forall n\geq N_{\varepsilon}:|h_n-g|<\varepsilon\).

\(h_n\) ist monoton wachsend und wegen Konvergenz auch beschränkt. Damit gilt insbesondere \(|N_{\varepsilon}-g|<\frac{1}{2}\) und \(|N_{\varepsilon}+1-g|<\frac{1}{2}\) für \(\varepsilon=\frac{1}{2}\) für ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\).

Dann ist weiter

\(\begin{aligned}1&=|(N_{\varepsilon}+1)-N_{\varepsilon}|=|(N_{\varepsilon}+1)-g+g-N_{\varepsilon}|\\&\leq |(N_{\varepsilon}+1)-g|+|g-N_{\varepsilon}|<\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\end{aligned}\)

Aber \(1<1\) ist ein Widerspruch.

Darf ich immer das Sandwich-Lemma verwenden, wenn die Divergenz zu zeigen möchte?

Ja, kannst du machen, indem du eine untere Abschätzung findest, die bereits nachweislich divergent ist.

---

Nochmals Danke :)

Dass man das Lemma auch für Divergenz zeigen kann, wusste ich vorher nicht.

Jetzt habe ich die Aufgabe soweit verstanden :)

Answer 3

Aloha :)

$$\frac{n^3-6n+1}{3n^3+9n^2}=\frac{1-\frac{6}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{3+\frac{9}{n}}\to\frac{1-0+0}{3+0}=\frac{1}{3}$$

$$\frac{2^n}{n!}=\underbrace{\frac{2}{1}}_{=2}\cdot\underbrace{\frac{2}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdots\cdot\frac{2}{n-1}}_{\text{alle Faktoren \(\le1\)}}\cdot\frac{2}{n}\le2\cdot1\cdot\frac{2}{n}=\frac{4}{n}\to0$$

Bei der c) liefert uns eine Polynomdivision:

$$\frac{3n^3+10n}{10n^2+n}=0,3n-0,03+\frac{10,03n}{10n^2+n}>0,3n-0,03\to\infty$$

Bei d) divergiert die Folge, wie du bereits richtig ermittelt hast.

Comments

Danke für die Antwort :)

Die Grenzwerte der b) und c) habe ich jetzt verstanden.

Habe gar nicht bedacht, dass man die Folgen auch so darstellen kann, hatte nur die Zahlenfolgen gesehen.

Verwendest du bei dem Beweise von b) das Sandwich-Lemma? Ist dann die Folge, die konstant 0 ist, die unter Folge und die 4/n dann die obere?

Darf ich eine konstante Zahlenfolge in dem Lemma verwenden? Sonst könnte ich 1/n nehmen.

Wie Beweise ich denn die Divergenz? Ich muss ja irgendeinen Widerspruch zur Definition der Konvergenz finden.

---

Ja genau, du kannst als unter Brotscheibe \(0\) wählen, also$$0<\frac{2^n}{n!}\le\frac{4}{n}\to0$$

Die Divergenz von \(d_n=\sin(n)\) würde ich durch Widerspruch zeigen. Nehmen wir an, der Grenzwert wäre \(d\), dann muss gelten:$$2\cos (n)\cos1=\sin(n+1)-\sin(n-1)\to d-d=0$$Das hieße, für den Grenzwert des Cosinus:$$\lim\cos(n)=0$$Wegen \(\sin^2(n)+\cos^2(n)=1\) für alle \(n\) muss daher \(d=\pm1\) sein.

Allerdings ist$$\sin(n+1)=\sin (n)\cos(1)+\cos (n)\cos(1)$$und damit$$\lim\sin(n+1)=(\lim\sin(n))\cos(1)+(\lim\cos(n))\cos(1)\implies$$$$d=d\cos(1)+0\stackrel{d=\pm1}{\implies}$$$$\cos(1)=1\quad\text{Widerspruch!}$$

Also exisitiert kein Grenzwert für \(\sin(n)\).

---

Vielen Dank für deine Antworten, hat mir wirklich sehr geholfen :)