Hallo,
es ist "klar", dass die Folge für \(n\to \infty\) ebenfalls gegen unendlich geht. Daher zeige im Folgenden, dass die Folge nicht konvergiert, sondern divergiert (d. h. nicht konvergiert).
Negiert man aussagenlogisch die Definition der Folgenkonvergenz, so folgt, dass für die Divergenz (die Nicht-Konvergenz) folgendes erfüllt sein muss:
Es gibt ein \(\varepsilon >0\), so dass für alle \(N\in \mathbb{N}\) ein \(n\in \mathbb{N}\) mit \(n\geq N\) und \(|a_n-a|\geq \varepsilon\) gibt.
Es gilt:$$|3n^2-a|\geq |n^2-a|=|n-a|\cdot |n+a|\geq n+a\geq \varepsilon$$ Wie wählt man \(\varepsilon\)? Bedenke, dass \(n\) eine natürliche Zahl ist und damit \(\geq 0\).
