Isometrien und Skalarpordukte

Question

Aufgabe:

Skalar Produkte und Isometrien

Seien m,n E N

a )  Drücken Sie Bildungsvorschrift der Abbildung

F : R^{m x n} x R^{m x n} -> R : ( A, B )  ->  F ( A , B )  = Sp ( A ^T B )

mittels der Matrizeneinträge aus und folgern Sei , dass F ein Skalarprodukt für Matrizen definiert

b) Geben Sei einen isometrischen Isomorphismus  α : R ^{m x n}  -> R ^mn an . d.h. eine Abbildung, die Folgendes erfüllt:

Isomorphie : α ist linear und bijektiv

Isometrie : Für alle A , B  ∈ R ^{m x n} gilt || A-B || =  | α ( A) - α ( B ) | wobei ||A|| = √ F ( A , A)  die durch das Skalarprodukt aus (a) gegebene ( Matrix -) Norm bezeichnet.

Problem/Ansatz:

kann mir jemand bitte helfen wie ich das rechnen soll, ich verstehe leider fast gar nicht

Answer 1

Überlege erst mal wie A^T * B aussieht .  Wenn A =

a₁₁ ...........a_1n
a₂₁ ..........a_2n

....................

a_m1 .......... a_mn

und B entsprechend mit bij gebildet wird, ist  A^T=

a₁₁ ...........a_m1
a₁₂ ..........a_m2
....................
a_1n1 .......... a_mn

Das Produkt ist also eine quadratische nxn Matrix. Für die Spur

brauchst du nur die Hauptdiagonale. Das 1. Element davor wäre

also das Skalarprodukt der 1. Zeile von A^T mit der 1. Spalte von B

= a₁₁*b₁₁+a₂₁*b₂₁+...+a_m1*b_m1

und das k-te Element auf der Hauptdiagonalen also

= a_1k*b_1k+a_2k*b₂₁+...+a_mk*b_mk    

Für die Spur musst du nun diese Hauptdiagonalelemente alle addieren

und erhältst also Die Summe aller Produkte je eines Elementes von A

mit dem entsprechenden Element von B, also

F(A,B) = \(\sum \limits_{k=1}^{n}\sum \limits_{i=1}^{m}a_{i,k} \cdot b_{i,k}\)

und für b) betrachtest du die Abbildung, die aus der mxn Matrix A einen

Vektor v mit m*n Komponenten macht. Wenn also A die Matrix von oben ist,

ist ihr Bild der Vektor, bei dem  a_i,j die Komponente  v_j*n+i  des Vektors v ist.

Comments

Danke für Ihre Rückmeldung, ich habe a verstanden ich muss eine Matrix bilden A und dann die Matrix A transponieren mit B Matrix multiplizieren und danach die Spur von dem   ausrechnen.

aber was passiert bei (b) genau, wie soll ich das rechnen ? Ich bin leider sehr verzweifelt.

mfg

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Bei b) geht es doch darum aus der n x m Matrix einen Vektor

aus R^n·m zu machen. Nimm z.B. n=2 und m=3 dann ist die Abbildung

einfach nur \(\begin{pmatrix} a & b &c\\ d&e&f \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d\\e\\f \end{pmatrix}\)