Grenzwert einer Folge mithilfe von Partialbruchzerlegung bestimmen

Question

Wie kann man den Grenzwert dieser Folge mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung bestimmen?

$\left(\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{3}{(3 k+1)(3 k+4)}\right)_{n \in \mathbb{N}}$

Answer 1

Aloha :)

Zunächst berechnen wir die Partialbruchzerlegung der Summanden:$$\frac{3}{(3k+1)(3k+4)}=\frac{A}{3k+1}+\frac{B}{3k+4}$$Der Nenner zu $A$ verschwindet für $k=-\frac{1}{3}$ und der Nenner zu $B$ verschwindet für $k=-\frac{4}{3}$. Daher lauten die Werte für $A$ und $B$:$$A=\frac{3}{\cancel{(3k+1)}\cdot(3\cdot(-\frac{1}{3})+4)}=\frac{3}{3}=1\quad;\quad B=\frac{3}{{(3\cdot(-\frac{4}{3})+1)}\cdot\cancel{(3x+4)}}=\frac{3}{-3}=-1$$Wir haben also folgende Zerlegung gefunden:$$\frac{3}{(3k+1)(3k+4)}=\frac{1}{3k+1}-\frac{1}{3k+4}$$

Die Summe berechnen wir nun mittels Indexverschiebung:

$$\sum\limits_{k=0}^n\frac{3}{(3k+1)(3k+4)}=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{3k+1}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{3k+4}$$$$\qquad=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{3k+1}-\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{3(k+1)+1}$$$$\qquad=\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{3k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n+1}\frac{1}{3k+1}$$$$\qquad=\left(\frac{1}{3\cdot0+1}+\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{3k+1}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3(n+1)+1}\right)$$$$\qquad=1+\frac{1}{3n+4}$$Der Grenzwert dieser Reihe ist offensichtlich gleich $1$, weil $\frac{1}{3n+4}$ eine Nullfolge ist:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=0}^n\frac{3}{(3k+1)(3k+4)}\right)=1$$

Comments

Danke für diese übersichtliche und ausführliche Antwort :)

Answer 2

Zeige das folgendes die Partialbruchzerlegung ist

3/((3·k + 1)·(3·k + 4)) = 1/(3·k + 1) - 1/(3·k + 4)

Der Rest ist dann nicht mehr schwer.

∑ (k = 0 bis n) (3/((3·k + 1)·(3·k + 4)))

= ∑ (k = 0 bis n) (1/(3·k + 1)) - ∑ (k = 0 bis n) (1/(3·k + 4))

= ∑ (k = 0 bis n) (1/(3·k + 1)) - ∑ (k = 0 bis n) (1/(3·k + 3 + 1))

= ∑ (k = 0 bis n) (1/(3·k + 1)) - (k = 0 bis n) (1/(3·(k + 1) + 1))

= ∑ (k = 0 bis n) (1/(3·k + 1)) - (k = 1 bis n + 1) (1/(3·k + 1))

= (1/(3·0 + 1)) - (1/(3·(n + 1) + 1))

= 3·(n + 1)/(3·n + 4)

Da kann man jetzt einfach den Grenzwert 1 ablesen.

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Vielen Dank :)