Koordinaten eines Polynoms bezüglich einer Basis des Polynomraumes angeben

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Basis f1=−1+2x+x², f2=1+2x², f3=1+x+2x² des R₂[x].

Geben Sie die Koordinaten des Vektors f0=2+2x+x² bezüglich f1,f2,f3 an.

Problem/Ansatz

Ich habe versuch es so zu lösen wie man bei linearkombinationen bei matrizen vorgeht aber das scheint nicht der richtige weg zu sein.

Also :

-1+1+1 = 2

2x+0x+1x=2x

1x^2+2x^2+2x^2=x^2

damit komme ich dann jeweils auf f1 = 1 f2=-1 f3=4 und das kommt nicht hin.

Answer 1

Hallo,

gesucht sind Skalare \(a_1,a_2,a_3\in \mathbb{R}\), sodass \(f_0=a_1\cdot f_1+a_2\cdot f_2+a_3\cdot f_3\) erfüllt ist, bzw

\(2+2x+x^2\\=a_1\cdot (-1+2x+x^2)+a_2\cdot (1+2x^2)+a_3\cdot (1+x+2x^2)\\=(-a_1+a_2+a_3)+(2a_1+a_3)\cdot x+(a_1+2a_2+2a_3)\cdot x^2\).

Mache nun damit einen Koeffizientenvergleich, um \(a_1,a_2,a_3\) zu erhalten.

Comments

Ich weiß leider nicht wie das gehen soll..

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Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstehst.

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ich weiß nicht wie der Koeffizientenvergleich geht, vergleicht man dann den letzten therm mit 2+2x+x^2 ?

wie bekomme ich aus einer gleichung dann 3 verschiedene eindeutige ergebnisse ?

Oder rechnet man die a's auf der linken seite zusammen, aber das kann doch nicht gehen weil ja auch mal x und x^2 gerechnet wird.

Man kann doch dann auch nicht werte von links mit der rechten zusammenfassen weil x nicht gleich a_1,2,3 ist oder?

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Koeffizientenvergleich ist ein häufiges Konzept in der Linearen Algebra. Du hast dabei im Grunde zwei Ausdrücke, zb \(3x+7\) und \((a+b)x+a\), wobei man hier will, dass beide Ausdrücke gleich sein sollen. Nun machst du Summand für Summand einen ,,Vergleich". Du betrachtest also \(3=a+b\) und \(a=7\), was nur gelöst werden muss. Dasselbe musst nun oben auch machen. Solange du nur lineare Ausdrücke in deinen Koeffizienten hast, ist das zu lösende System ein lineares Gleichungssystem.

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Also würde das bedeuten :

2 = -a1+a2+a3

2=2a+a3

1=a1+2a2+2a3

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Ja, genau._____________

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dann formt man es zu

a1 = a2+a3-2

2a2=1-a1-2a3

a3=2a1-2

und setzt jeweils ein?

nach dem einsetzen bekomme ich für a1 =-5 , a2 =-1 und a3 =-2
wenn ich dann -5 * f1 und -1*f2,-2*f3 rechne kommt aber nicht die gesuchte funktion raus.

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Ich kenne nicht deinen Rechenweg, aber ich finde das Gaußverfahren geeigneter zu verwenden. Betrachte also

\(2 = -a_1+a_2+a_3\\ 2=2a_1+a_3\\ 1=a_1+2a_2+2a_3\)

und forme es zu einer erweiterten Koeffiezientenmatrix um:

\(\left(\begin{array}{ccc|c}-1 & 1 & 1 & 2\\2 & 0 & 1 & 2\\1 & 2 & 2 & 1\end{array}\right)\)

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Ich zeige mal meine Rechenschritte weil ich immernoch nicht das richtige ergebnis habe.

Also

-1+1+1 =2  | *-1

2+0+1=2

1+2+2=1

________________

1-1-1 =-2  | *-2 |*-1
2+0+1=2       +
1+2+2=1            +

________________

1-1-1 =-2

0+2+3=6  | *-1
0+3+3=3       +

__________________

1-1-1 =-2
0+2+3=6
0+1+0=-3  | tausche 2 mit 3 zeile

_______________________________

1-1-1 =-2    +

0+1+0=-3 | *1 |*-2
0+2+3=6            +

___________________________

1+0-1 =-5   
0+1+0=-3
0+0+3=0    | *1/3

_____________________________

1+0-1 =-5   +
0+1+0=-3
0+0+1=0    |*1

_________________________

1+0+0 =-5  +
0+1+0=-3
0+0+1=0   

auf dieses ergebnis komme ich es führt aber nicht zur gewünschten gleichung

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Das rot markierte ist der Fehler:

1-1-1 =-2    +
0+1+0=-3 | *1 |*-2
0+2+3=6           +

Du wärst aber hier schon (korrekt) fertig gewesen:

1-1-1 =-2
0+2+3=6
0+1+0=-3,

da du bis auf Reihenfolge der Spalten eine Dreiecksform hast.