Zeigen Sie, dass q_n := n! + 1 einen Primfaktor größer als n hat

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N. Zeigen Sie, dass q_n := n! + 1 einen Primfaktor größer als n hat.
Schließen Sie daraus, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Problem/Ansatz:

Ich und mein Übungspartner haben absolut keine Ahnung, wie wir hier vorgehen sollen.

Kann uns jemand ein paar Ansätze/Tipps geben, um uns zu helfen?

Answer 1

n! ist durch alle Zahlen von 1 bis n  (und damit auch durch deren Primfaktoren) teilbar.. Dann lässt der Nachfolger von n! bei Teilung durch alle diese Zahlen den Rest 1 und ist also durch keine der Zahlen 2 bis n teilbar.