Zeigen Sie, dass die Funktion f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \rightarrow x^5+x^3+x-1 bijektiv ist und …

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion $$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \rightarrow x^5+x^3+x-1$$ bijektiv ist und bestimmen Sie die erste und zwite Ableitung von $$f^{-1}$$ im Punkt $$2 = f(1)$$.

Problem/Ansatz:

Wie weiße ich das nach?

Answer 1

f ' (x) = 5x^4 + 3x^2 + 1  ist größer 0 für alle x∈ℝ.

Also f streng monoton steigend und somit injektiv.

Wegen $$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty und \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty $$

und der Stetigkeit von f ist f auch surjektiv.

Der 2. Teil geht nach der Formel:

f ^(-1) ' (y) = 1 / f ' (x)  mit f(x)=y also hier

f ^(-1) ' (2) = 1 / f ' (1)   = 1 / 9 .

Answer 2

dass die Funktion ... bijektiv ist

Zeige

1. \(f'(x) \geq > 0 \forall x\in \mathbb{R}\)
   
2. \(\lim\limits_{x\to -\infty}f(x) = -\infty\)
3. \(\lim\limits_{x\to \infty}f(x) = \infty\)
   

erste und zwite Ableitung von \(f^{-1}\) im Punkt \(2 = f(1)\)

Geometrisch bekommst du die Umkehrfunktion indem du die Funktion an der Geraden \(y=x\) spiegelst. Überlege dir anhand dessen, welcher rechnerische Zusammenhang zwischen Steigung einer Funktion an einem Punkt und Steigung der Umkehrfunktion am gespiegelten Punkt besteht.

Oder du verwendest einfach die Umkehrregel.