Aufgabe:
Ich soll den Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen durchführen, aber statt den Zahlen p1*p2*...*ps+1 soll ich ihn für die Zahlen p1*p2*...*ps-1 durchführen.
Problem/Ansatz:
Ich hab das jetzt analog zu meinem Buch gemacht und dann im Löser nachgesehn, aber er ist nich ganz richtig, er lautet:
Wir nehmen an, dass es endlich viele, also eine Anzahl s von Primzahlen gibt. Diese können wir auflisten: Seien p1,p2,...,ps alle Primzahlen. Wir betrachten folgende Zahl n=ps*p2*...*ps-1.
Nach einem Hilfssatz (Sei n eine natürliche Zahl. Wenn n>1 ist,, gibt es mindestens eine Primzahl, die n teil.) gibt es mind. eine Primzahl die n teilt. Da p1,p2,...,ps-1 nach unserer Annahme alle Primzahlen sind, muss eine dieser Zahlen, die Zahl n teilen. Also gibt es eine Primzahl pi(i Element aus der Menge 1,2,...,s) mit pi teilt n.
Die Zahl n+1 ist das Produkt aller Primzahlen und wird daher ebenfalls von pi geteilt. Aus pi teiln n und pi teilt n+1 folgt wieder nach einem anderen Hilfssatz, dass pi teilt (n+1)-n, also pi teil 1, was ja ein Widersprich ist weil pi größer als eins ist.
Was hier laut dem Löser nicht stimmt ist das -1, denn dort steht immer ps-1, aber warum ist das so? Und wie ist das gemeint mit n+1 ist das Produkt der Primzahlen?
