Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von ft punktsymmetrisch zum Punkt P(0/3) verlaufen.

Question

Gegeben ist die Funktionenschar ft mit x² -t²x+3

a) Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von ft punktsymmetrisch zum Punkt P(0/3) verlaufen.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Hochpunkte des Graphen in Abhängigkeit von t

(meine Ansätze laufen darauf hinaus, dass die Lösung falsch ist, daher bitte ich möglichst um nachvollziehbare Zwischenschritte vorteilsweise mit Erklärungen danke schonmal)

Comments

Gegeben ist die Funktionenschar ft mit x^2 -t^2x+3

Die Funktion ist eine Parabel und zu nix und
niemand punktsymmetrisch.

Heißt es vielleicht x^3 ?

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Ja genau, entschuldigen Sie, hab mich vertippt

Answer 1

f = x^3 -t^2 * x + 3 ;
Der Punkt ( 0 | 3 ) ist der Wendepunkt
für alle Funktionen.

f ´ ( x ) = 3*x^2 - t^2
f ´´( x ) = 6x

Wendepunkt
6x = 0
x = 0

f ( 0 ) = f = x^3 -t^2 * x + 3 = 3

( 0 | 3 ) ist der Wendepunkt.

b.)
f ´( x ) = 0
Stelle mit Waagerechter Tangente
3*x^2 - t^2 = 0

3x^2 = t^2
x^2 = t^2 / 3

x = + t / √ 3
f ( x ) = f (6 * + t / √ 3) = 3 - √ 3 *  t^3 * 2 / 9
f ´´ ( x ) = 2 * √ 3 * t

und
x = - t / √ 3
f ( x ) = f (6 * + t / √ 3) = √ 3 *  t^3 * 2 / 9 + 3
f ´´ ( x ) = - 2 * √ 3 * t

Bei b.) weiß ich nicht ob so ganz
richtig
Insbesondere fehlt die Art des Extrempunkts.