Sei A, B ∈ Kn×n , wobei B = CA und C ∈ Kn×n ein Produkt von Elementarmatrizen ist. Dann haben A und B denselben Kern.

Question

Sei K ein Körper und n∈ℕ

Ich soll folgende Aussage beweisen oder widerlegen.

Gegeben seien A, B ∈ K^n×n , wobei B = CA und C ∈ K^n×n ein Produkt von Elementarmatrizen ist. Dann haben A und B denselben Kern.

Ich habe hier leider nichtmal einen Ansatz, würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Du musst doch nur zeigen, dass die Multiplikation mit einer

Elementarmatrix den Kern nicht verändert.

Wenn du also eine Matrix A hast und den Kern bestimmst,

betrachtest du ja das hom . lin. Gleichungssystem A*x=0.

Multiplikation mit einer Elementarmatrix bewirkt nur Veränderungen,

die die Lösungsmenge des Systems nicht ändern.

siehe auch http://math-www.uni-paderborn.de/~chris/Index27/V/einschubA.pdf