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Hallo,



ich bräuchte bei der folgenden Aufgabe bitte eure Hilfe.


Sei D ⊂ Rn offen und f : D → R stetig differenzierbar mit ∇f(x) ≠ 0 für alle x ∈ D.
Zeigen Sie, dass f(D) offen ist.


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Hallo,

das ist eine direkte Folgerung aus dem Satz über die lokale Umkehrbarkeit. Ich habe mich mal um ein Bild in PowerPoint bemüht: Natürlich ohne die blauen Lücken dazwischen. :D

blob.png

Jeder Punkt \(x\in D\) besitzt nämlich nach dem Umkehrsatz eine offene Umgebung \(U_x\), deren Bild \(f(U_x)\) offen ist. Dann ist \(f(D)=\bigcup\limits_{x\in D}f(U_x)\) offen und zusammenhängend. (Stetigkeit von \(f\)) 

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