0 Daumen
89 Aufrufe

Aufgabe:
(a) Folge fk konvergiert punktweise aber nicht gleichmäßig.
(b) Ist a > 1 so konvergiert fk gleichmäßig auf [a, ∞[ .


$$ k \in N  \\ { f }_{ k } [0, \infty [ \rightarrow  R\\ { f }_{ k }(x)\quad :=\quad \frac { { x }^{ k } -1 }{ { x }^{ k } + 1 }$$


Hier was ich dazu gedacht habe. Muss ich die Unstetigkeit der Grenzfunktion nochmal extra beweisen? Und was sind die Fehler? Danke!


Grenzfunktion:

$$ f\quad :\quad x\quad \rightarrow \quad { \begin{pmatrix} -1\quad ,\quad \quad \quad falls\quad x\quad \in \quad [0,\quad 1) \\ 0\quad ,\quad \quad \quad \quad \quad \quad falls\quad x\quad =\quad 1 \\ 1\quad ,\quad falls\quad x\quad \in \quad (1\quad ,\quad \infty ) \end{pmatrix} }$$

$$\\ für\quad x\quad \in \quad [0,\quad 1)\quad ist:\quad \\ \frac { { x }^{ k }\quad -\quad 1 }{ { x }^{ k }\quad +\quad 1 } \quad \overset { k\rightarrow \infty  }{ \longrightarrow  } \quad \quad -1\\ \\ für\quad x\quad =\quad 1\quad ist:\\ \\ \frac { { x }^{ k }\quad -\quad 1 }{ { x }^{ k }\quad +\quad 1 } \quad \longrightarrow \quad 0\\ \\ für\quad x\quad \in \quad (1\quad ,\quad \infty )\quad ist:\\ \\ \frac { { x }^{ k }\quad -\quad 1 }{ { x }^{ k }\quad +\quad 1 } \quad =\quad \frac { { x }^{ k }\quad \left( 1\quad -\quad \frac { 1 }{ { x }^{ k } }  \right)  }{ { x }^{ k }\quad \left( 1\quad +\quad \frac { 1 }{ { x }^{ k } }  \right)  } \quad \overset { k\rightarrow \infty  }{ \longrightarrow  } \quad 1 $$

Da die Grenzfunktion nicht stetig ist konvergiert fk nur punktweise.

$$ Ist\quad jedoch\quad \alpha > 1\quad und\quad gilt\quad [\alpha  , \infty [ \rightarrow  R\\ \\ ist\quad die\quad Grenzfunktion\\ \\ f\quad :\quad x\quad \rightarrow \quad \left\{ 1\quad ,\quad falls\quad x\quad \in \quad [\alpha \quad ,\quad \infty [ \right\} \\ \\ und\quad es\quad gilt:\\ \\ \forall \epsilon  > 0 \quad \forall  x \in (\alpha \quad ,\quad \infty )\quad \exists  { k }_{ 0 } \in  N\quad \forall k \ge { k }_{ 0 } :\\ \left| { f }_{ k } - f(x) \right|  = \left| { f }_{ k } -1 \right|  \le \quad \epsilon  $$
$$ { f }_{ k }\quad ist\quad streng\quad monoton\quad steigend\quad mit\quad { f }_{ k } (x) \ge  { f }_{ k } (\alpha ) \\ für\quad alle\quad x \ge  \alpha \quad ist:\quad { f }_{ k } (x) \overset { x \rightarrow  \infty  }{ \longrightarrow  }  1 \\ und\quad { f }_{ k } (x) \overset { k \rightarrow  \infty  }{ \longrightarrow  } \quad 1.\\ \\$$
$$So\quad dass\quad hier\quad { k }_{ 0 }\quad nicht\quad von\quad x\quad abhängig\quad ist.\\ Daraus\quad folgt\quad die\quad gleichmäßige\quad Konvergenz\quad auf\quad [\alpha \quad ,\quad \infty [\quad \\ mit\quad \alpha  > 1.\\  $$


von

1 Antwort

0 Daumen

Deine Begruendung zu b) finde ich nicht so recht gelungen. Gehe doch einfach von $$|f_k(x)-1|=\frac{2}{x^k+1}\le\frac{2}{a^k+1}\quad\text{fuer $x\ge a>1$}$$ aus.

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...