Abschätzung zeigen (ein kleiner Tipp reicht schon)

Question

Aufgabe:

Abschätzung beweisen:

\( e^{-\pi x^{2}} \leq\left(1+x^{2}\right)^{-1} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe hier diese Abschätzung nicht, bzw. weiß nicht wie man das zeigen könnte.

Ich würde mich über einen kleinen Tipp freuen.

Answer 1

Aloha :)

Du kennst bestimmt die wichtige Ungleichung \(e^x\ge1+x\).

$$e^{\pi\,x^2}\ge1+\pi\,x^2\ge 1+x^2\implies e^{-\pi\,x^2}\le(1+x^2)^{-1}$$

Comments

Super, danke!

Answer 2

Ich würde mal versuchen beide Funktionen in eine Reihe zu entwickeln und dann die Koeffizienten vergleichen.

Comments

Welche Reihenentwicklung würdest du für den rechten Term wählen?

PS: Ich hab das jetzt mit der Ableitung gezeigt, aber dein Ansatz interessiert mich sehr.