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Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Matrizen mit komplexen Einträgen:
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & i \\ 3 & 1+i & 2 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1-i \\ -3 & 1 \end{array}\right) \text { und } C=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & i \end{array}\right) \)
(i) Geben Sie an, welche der neun Matrixprodukte \( A A, A B, A C, B A, B B, B C, C A, C B, C C \) laut Vorlesung definiert sind.
(ii) Berechnen Sie all die definierten Matrixprodukte des vorherigen Aufgabenteils.
(iii) Finden Sie eine Matrix \( A \in \mathbb{R}^{5 \times 5} \), welche nicht die Einheitsmatrix \( I_{5} \in \mathbb{R}^{5 \times 5} \) ist und \( A^{5}=I_{5} \) erfüllt,

von

Wie ist denn das Matrixprodukt in der Vorlesung definiert?

4.1 Matrizen
Sei weiterhin \( K \) ein Körper.
Definition 4.1 .1 Seien \( m, n \in \mathbb{N} \) natürliche Zahlen.
(a) Eine \( m \times n \) - Matrix über \( K \) ist ein \( m \cdot n \) - Tupel \( A \) von Elementen aus \( K \), dessen Einträge mit Paaren \( (i, j) \) für \( 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \) indiziert sind. Notation:
\( A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right)=\left(a_{i j}\right)_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n} \)
(Hierbei ist der Index \( , \) ij " eine Kurzschreibweise für \( , i, j \) ".
(b) Die Menge aller \( m \times n \) -Matrizen über \( K \) wird mit \( K^{m \times n} \) bezeichnet und auf übliche Weise als \( K \) -Vektorraum aufgefasst \( (d . h . \) mit komponentenweiser Vektoraddition und Skalarmultiplikation). Die Matrix, deren Einträge alle 0 sind, hei\betat Nullmatrix (und wird wie üblich selbst mit 0 bezeichnet).
Definition 4.1 .2 Seien \( \ell, m, n \in \mathbb{N} \)
(a) Ist \( A=\left(a_{i j}\right)_{i j} \in K^{\ell \times m} \) und \( B=\left(b_{j k}\right)_{j k} \in K^{m \times n}, \) so definieren wir das Produkt \( A \cdot B \) als diejenige Matrix \( \left(c_{i k}\right)_{i k} \in K^{\ell \times n}, \) die gegeben ist durch
\( c_{i k}=\sum \limits_{j=1}^{m} a_{i j} b_{j k} \)
(Statt \( A \cdot B \) schreibt man oft auch \( A B .) \)
",Kanonische Abbildung" bedeutet allgemeiner so was wie ,nahgeliegendste Abbildung", was das genau ist, hängt vom Kontext ab.

Und wo siehst du nun Probleme bei der a?

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(b) Wir identifizieren \( n \) -Tupel in \( K^{n} \) oft mit der entsprechenden Matrix in \( K^{n \times 1}, \) die nur aus einer Spalte besteht. Dadurch können wir eine Matrix \( A \in K^{m \times n} \) als Abbildung von \( K^{n} \) nach \( K^{m} \) auffassen, die \( v \in K^{n} \) abbildet auf das Matrixprodukt \( A v \in K^{m} \).

Beispiel 4.1.3 Ist \( A=\left(a_{i j}\right)_{i j} \in K^{m \times n} \) und \( \underline{b}=\left(b_{i}\right)_{i} \in K^{m}, \) so läst sich das Gleichungssystem mit Koeffizientenmatrix
\( (A \mid \underline{b})=\left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_{m} \end{array}\right) \)
jetzt als eine einzige Gleichung in \( K^{m} \) schreiben, nümlich \( A \underline{x}=\underline{b}, \) wobei \( \underline{x} \) als eine Variable in \( K^{n} \) aufgefasst wird.

Satz 4.1 .4 Das Matrixprodukt entspricht der Verknüpfung der entsprechenden Abbildungen: Ist \( A=\left(a_{i j}\right)_{i j} \in K^{\ell \times m}, B=\left(b_{j k}\right)_{j k} \in K^{m \times n} \) und \( v \in K^{n}, \) so gilt
\( (A B) v=A(B v) \)
Satz 4.1.5 Für Matrizen \( A, B \in K^{m \times n}, r \in K \) und \( v \in K^{n} \) gilt.
(a) \( (r A) v=r(A v) \)
(b) \( (A+B) v=A v+B v \).
Definition 4.1 .6 Sei \( n \in \mathbb{N} \)
(a) Die Einheitsmatrix \( I_{n} \in K^{n \times n} \) ist die Matrix, die der Identitätsabbildung \( K^{n} \rightarrow K^{n} \) entspricht:
\( I_{n}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) \)

(i)und (ii) und (iii)

Oh, sorry, ich meine natürlich mit a den Aufgabenteil i) .
Was verstehst du daran nicht, wenn du die Definition hast?

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