Zeigen Sie, dass f linear ist. Und Kern und Bild bestimmen. Sowie Surjektivität und Injektivität

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, n ∈ N und V = K^nxn. Betrachten Sie die Abbildung f : V -> K : (ai;j)1≤i;j≤n ↦ ∑_i=1^n ai,i
Zeigen Sie, dass f linear ist. Bestimmen Sie Kern(f) und Bild(f). Prüfen Sie f auf Injektivität und Surjektivität

Problem/Ansatz:

Ich weiß was gemeint ist nur kann ich mir nicht vorstellen wie die Abbildung aussieht denn um Linearität zu zeigen muss man zeigen das es additiv und homogen ist nur wie macht man das mit dieser Abbildung? Zudem bin ich mir leider immer noch sehr unsicher wie man genau sujektivität und injektivität beweist.

Vielen Dank im Voraus

Lg nattiamber

Answer 1

Du meinst wohl $$ \sum_{i=1}^{n}a_{ii} $$

Die linearität zu zeigen ist recht einfach.

Additivität:

$$ f(a_{ij}+b_{ij})=\sum_{i=1}^{n}(a_{ii} + b_{ii})=\sum_{i=1}^{n}(a_{ii})+\sum_{i=1}^{n}(b_{ii})=f(a_{ij})+f(b_{ij}) $$

Multiplikation mit skalar:

$$ f(ka_{ij})=\sum_{i=1}^{n}(ka_{ii})=k\sum_{i=1}^{n}(a_{ii})=kf(a_{ij})$$

Bei dem Kern und Bild bin ich mir grad selbst nicht sicher. Falls du auf das Ergebnis selber irgendwie kommen solltest, dann kannste das ja gerne hier mal reinschreiben. Bräuchte nähmlich auch die Lösung;)