Injektivität/Surjektivität unter Quotienten

Question

Aufgabe:

Seien U, U' ⊂ V zwei Unterräume eines K-Vektorraumes V . Zeigen Sie: die Abbildung
V → V /U ⊕ V /U'
ist genau dann injektiv (bzw. surjektiv), wenn U ∩ U'
0 = 0 (bzw.
V = U + U'
0
).

Problem/Ansatz

Könnte jemand mir eine Idee geben für den Beweis von der Surjektivität ? Injektivität ergibt sich durch die direkte Summe der Abbildung.

Injektivität: Zeige, dass v im Kerr (phi) ist, damit gilt phi(v)=0.

Da von V auf V/U "plus" V/U' ist, bildet v auf v + U "plus" v + U' ab.

Hinrichtugn sei v aus dem Kerr(phi) -> v+U =0 und v+U'=0

Daraus da v aus dem Kern von phi kommt und phi(v)=0 ist aufgrund der Annahme ist 0 + U=0 und 0+U'=0

Daraus folgt, dass U=0 und U'=0 ist. Somit ist der Schnitt von U, U' = {0}

Rückrichtung, Sei U schnitt U' =0 wenn phi(v)=0 ist.

Wenn v aus U und v aus U' ist mit dem Schnitt von U und U' =0 folgt daraus dass, v =0 ist.

Mit phi(v)=phi(0) folgt phi(0)=0 damit ist phi injektiv.

Mir liegt dazu ebenfalls eine Lösung vor, da es sich um eine Übungsaufgabe handelt, grade der Surjektive Teil verstehe ich nicht.

Comments

Sind da ein paar Nullen zuviel im Aufgabentext?

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Wie ust eigentlich die Abbildung definiert?

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Bin mir nicht sicher, worauf du Aufmerksam machen möchtest aber ich schreibe dir die Kernaussagen der Aufgabe nochmals ab.

Die Abbildung ist genau dann injektiv wenn der Schnitt beider Unterräume U, U' = 0 ist.

Die Abbildung ist genau dann surjektiv wenn V aus der Summe von U + U' besteht.

Das ich es mit g.d.w. zu tun habe, Beweise ich in beiden Richtungen.

Answer 1

Ich räume mal die Injektivität etwas auf, vielleicht hilft sie dir etwas. Im gleichen Stil mache Ich dir dann einen Vorschlag zur Surjektivität. Ich bin hier ein Fan von einfachen Äquivalenzumformungen, da es die Hin- und Rückrichtung in einen kompakten Beweis kombiniert.

Zur Injektivität:

Wir nennen die Abbildung \(f = (\pi^U,\pi^{U'})\). Dann ist äquivalent:

\((f\text{ injektiv}) \iff (\mathrm{ker}(f)=\{0\}) \iff (\forall v \in V: (v=0 \iff \pi^U(v)=0 \land \pi^{U'}(v)=0)) \iff (\forall v \in V : (v=0 \iff v\in U \land v\in U')) \iff (U\cap U' = \{0\}).\)

Hier habe ich einfach nur jeweils umgeschrieben, was Injektivität bedeutet. Der Beweis wörtlich in einem Satz (sowas ist ja auch ein wichtiger Skill zu haben): Der Kern von \(f\) ist einfach nur \(U\cap U'\) und \(f\) ist genau dann injektiv, wenn das \(\{0\}\) ist.

Das gleiche bei der Surjektivität. Ich gebe Dir den Ein-Satz-Beweis, versuch mal ihn zu formalisieren: "Der Cokern von \(f\) ist isomorph zu \(V/(U+U')\) (das ist keine Mengengleichheit und etwas schwerer zu sehen als beim Kern). Jetzt ist \(f\) genau dann surjektiv, wenn \(\mathrm{coker}(f)=\{0\}\), das ist genau dann der Fall wenn \(U+U'=V\)."

Comments

So, ich hatte in unter 20 Minuten deines Beitrages mir gedanken dazu gemacht.
Erstmals versuchte ich zu verstehen was du überhaupt selbst geschrieben hast usw.

"Beweis wörtlich in einem Satz" Hat mich echt beeindruckt und etwas umgehauen aber gut.

Unter dem neuen Begriff des Kokerns einer Abbildung musste ich erst etwas suchen.

Da ich es in der Aufgabenstruktur mit einer direkten Summe zu tun habe ich erst im Skript nachgesehen, es existiert ein Koprodukt. Unter einer Suchanfrage fand ich einen kurzen Satz vom Spektrum Magazin zum Kokern. Angepasst an die Aufgabe.

 "Der Kokern einer linearen Abbildung : U nach U' zwischen zwei Vektorräumen U und U' ist der Quotientenraum.

$$Kokerf: = U'/im f$$

wobei im f das Bild von f bezeichnet.

! Eine lineare Abbildung ist dann Surjektiv, wenn ihr Kokern nur aus dem Nullvektor besteht.!

Weiter liest sich ein Satz zur Sequens eines Vektorraumes U nach V selbst mit einer weiteren Abbildung von V nach dem Quotientenraum V/U

Vielleicht nun mehr zum Beweis.

Hinrichtung: Eine lineare Abbildung ist dann Surjektiv, wenn ihr Kokern nur aus dem Nullvektor besteht. Mir ist klar, warum auch nach der obigen Formel der Koker f = 0 ist.

Man rechnet ja, wie das im Spektrum steht U'/ Mod U' was die = 0 ergibt.

Kann es sein, dass wenn V=U+U' ist und ich sagen kann, dass für die Surjektivität U'/mod U' = 0.

KI : Es sei noch so, dass die Abbildung gleich dem ganzen Bild entspricht. Dies wird von der KI genutzt um die Surjektivität zu zeigen und folgend soll die Abbildung nicht surjektiv sein ?

Dies verwirrt mir leider ein wenig, ich tendiere mehr zu dem von dir kommentierten denn dies scheint mehr richtig zu sein als die Wahrscheinlichste Antwort. Vorallem ich fragte nur nach dem Kokern und nicht nach der ganzen Aufgabe.

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Ach so ein Dreck, ich saß sehr lange an eine Hinrichtung für die Surjektivität.

Ich muss eingestehen, ich hätte den Formalismus so nicht geschafft.

Hinrichtung: Sei f surjektiv, demnach gibt es zu jedem Element aus dem Zielbereich ein Element aus der Urmenge.

Da die Urmenge aus dem eigentlichen VR V besteht und die Zielmenge aus der direkten Summe beider Quotienträume.

V/U + V/U'

Laut Chatgpt ist es so, dass f dann surjektiv ist wenn das im f = Zielbereich ist.

Was nichts anderes als die direkte Summe der beiden Quotientenräume ist.

Ab hier wüsste ich so per se nicht weiter, 0:22