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Man zeige mit Hilfe von Irreduzibilitätsuntersuchungen für P = x2-7 ∈ ℤ[x] direkt,
dass \( \sqrt{7} \) irrational ist.

Komme hier leider nicht ganz weiter :(.

vor von

3 Antworten

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Durch einen indirekten Beweis. Nimm an (x-\( \sqrt{7} \))· (x+\( \sqrt{7} \)) sei die Zerlegung von x2-7 und √7 ∈ ℤ.

vor von 89 k 🚀

Hm...

Also angenommen ich kann es als x2-7=(x+a)(x+b), a,b∈ℤ faktorisieren.

Dann: a+b=0, ab=-7 also: a=-b, -a2=-7 also: a2=7, und das kann für a∈ℤ nicht passieren. Somit also irreduzibel.

Bzw sehen wir ja die Nullstellen in deiner Zerlegung mit \( \sqrt{7} \) und -\( \sqrt{7} \) und somit \( \sqrt{7} \), -\( \sqrt{7} \) ∉ ℤ Wie gehe ich aber jetzt weiter und zeige damit, das es irrational ist?

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https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

Verwende das hier. Dann erhältst du direkt, dass P irreduzibel ist. Insb. kann es keine rationale Nullstelle a/b haben, da es sonst den Faktor (b*x-a) enthalten würde und folglich reduzibel wäre.

vor von
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Benutze https://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium. Die rationalen Zahlen sind Quotientenkörper der ganzen Zahlen und mit dem Eisensteinkriterium folgt, dass \( x^2 -7\) in den rationalen Zahlen irreduzibel ist. Also ist \( x-\sqrt{7} \) kein Teiler von \( x^2 -7\) und damit ist \( \sqrt{7} \) keine rationale Zahl, also irrational.

vor von

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