Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a eine Basis vom Bild.

Question

\( A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \\ 2 & 3 a & 0\end{array}\right), a \in \mathbb{R} \)

Für den Parameter a 2 R betrachten wir die lineare Abbildung

\( \mathcal{L}_{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, v \mapsto A v \)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a eine Basis vom Bild \( \left(\mathcal{L}_{A}\right) \). Entscheiden und begründen Sie (ebenfalls in Abhängigkeit vom Parameter a ), ob die Abbildung \( \mathcal{L}_{A} \) injektiv ist und geben Sie eine Basis vom \( \operatorname{Kern}\left(\mathcal{L}_{A}\right) \) an, falls \( \operatorname{dim}\left(\operatorname{Kern}\left(\mathcal{L}_{A}\right)\right)>0 \)

Kann mir da jemand ein Tipp geben?

Answer 1

Für a=-2/3 hat die Matrix den Rang 2, sonst immer 3.

Also bilden für a ≠ -2/3 die Spalten von A eine

Basis des Bildes und der Kern ist {0}

Für a= -2/3 ist eine Basis des Bildes

3                         2
0            und       -1
-2                        0

und Basis für den kern

1
1
-2

Comments

Danke mathef Was sagt der Rang "2" aus?

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Dass die Dim des Bildes = 2 ist.