Determinante einer Blockmatrix

Question

Aufgabe:

Determinante einer Blockmatrix berechnen:

\( \left(\begin{array}{cc|cc|cc}2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline-2 & 3 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 7 & 2 & 3 & 2 & 0 & 0 \\ \hline 5 & -1 & 3 & 5 & 7 & -5 \\ 2 & 3 & 7 & 2 & 2 & -1\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Ich habe in meinen Unterlagen die Formel für die Determinantenberechnung einer unteren Dreiecksmatrix gefunden:

det \( \left(\begin{array}{c|c} A& 0  \\ \hline C &D\end{array}\right) \) = det A * det D

Hier sind aber jetzt mehr als 4 Blöcke, was müsste ich bei der Berechnung beachten? Kann ich diese Formel hier irgendwie anwenden oder ist das der falsche Weg?

Answer 1

Aloha :)

Du hast eine dreieckige Blockmatrix. Die Determinante der Gesamtmatrix ist das Produkt der Block-Determinanten auf der Hauptdiagonalen:

$$D=\begin{vmatrix}2 & 1\\3 & 8\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}2 & -1\\3 & 2\end{vmatrix}\cdot\begin{vmatrix}7 & -5\\2 & -1\end{vmatrix}=(16-3)(4+3)(-7+10)=13\cdot7\cdot3=273$$

Comments

vielen Dank, da hatte ich komplizierter gedacht

Answer 2

Du musst nur die Blöcke auf der Diagonalen nehmen und deren

Determinanten multiplizieren, gibt

D = 13*7*3=273