Leibniz Kriterium, maximale Abweichung.

Question

Aufgabe:

Ermitteln sie für die Reihe S=\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{} \)(-1)^k × \( \frac{3+k}{1+3k+k^2} \)

aus den ersten drei Reihengliedern einen Näherungswert Š für die Reihe. Schätzen Sie mithilfe des Leibniz-Kriteriums ab, wie weit der Näherungswert Š vom Wert der Reihe S maximal abweicht. Geben Sie bitte eine Begründung an, weshalb man das Leibniz-Kriterium bei dieser Reihe anwenden darf.

Also ich verstehe leider nicht genau wie ich die Aufgabe Vollständig lösen kann. Ich finde auch sogut wie keine Beispiele im Internet welche der Aufgabe ähneln und in meinem Mathe Buch steht auch nur Grundsätzlich wie das Leibniz Kriterium Funktioniert weshalb ich nun nicht verstehe wie man die Aufgabe komplett lösen kann.

Eine Lösung zur Aufgabe wäre sehr hilfreich.

Answer 1

Hallo,

der Grenzwert \(s\) einer alternierenden Reihe \(\sum \limits_{k}(-1)^ka_k\) mit \(a_k\geq 0\) liegt für jedes \(n\in \mathbb{N}\) zwischen \(s_n\) und \(s_{n+1}\). Damit gilt wegen \(|s_{n+1}-s_n|=a_{n+1}\), dass der Fehler höchstens \(R_n=|s-s_n|\leq a_{n+1}\) ist. D. h. es gilt \(|s-s_3|=\left|s-\frac{2444}{1045}\right|\leq a_4=\frac{7}{29}\). Also gilt \(s\in [2.09738,2.58014]\).

Comments

Hallo,

Wäre dies nicht für das 4te Reihenglied ? Da k=0 bereits als erstes Reihenglied zählte müsste S₃ = 146/55 sein. Oder verstehe ich es Falsch ?

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Also in der Aufgabenstellung wird ja verlangt dass man aus den ersten drei Reihengliedern einen Näherungswert bildet also: 3 - 4/5 + 5/11 = 146/55

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Wäre dies nicht für das 4te Reihenglied ? Da k=0 bereits als erstes Reihenglied zählte müsste S3 = 146/55 sein. Oder verstehe ich es Falsch ?

Sorry, ja, da hast du recht.