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Willkommen in der Mathelounge...
Wir suchen eine Zahl \(x\), sodass \(x^2=60\) ist. Dazu führen wir eine Intervallschachtelung durch. Wir starten mit den Werten \(7\) und \(8\), berechnen deren Mittwelwert und vergleichen, ob das Quadrat des Mittelwertes kleiner oder größer als \(60\) ist. Wenn das Quadrat kleiner ist, wird der Mittelwert die neue untere Grenze. Wenn das Quadrat größer ist, wird der Mittelwert die neue obere Grenze.
$$\begin{array}{rrrrrrr}\text{Schritt} & x_\text{unten} & x^2_\text{unten} & x_\text{oben} & x^2_\text{oben} & \frac{x_\text{unten}+x_\text{oben}}{2} & \left(\frac{x_\text{unten}+x_\text{oben}}{2}\right)^2\\\hline 0 & 7 & 49 & 8 & 64 & 7,5 & 56,25 \\1 & 7,5 & 56,25 & 8 & 64 & 7,75 & 60,0625\\2 & 7,5 & 56,25 & 7,75 & 60,0625 & 7,625 & 58,1406\\3 & 7,625 & 58,1406 & 7,75 & 60,0625 & 7,6875 & 59,0976\\4 & 7,6875 & 59,0976 & 7,75 & 60,0625 & 7,71875 & 59,5791\\5 & 7,71875 & 59,5791 & 7,75 & 60,0625 & 7,734375 & 59,8205\end{array}$$Du erkennst, dass nach 5 Schritten die Näherung \(x=7,75\) mit \(x^2=60,0625\) am nächsten an \(x^2=60\) dran ist.
