Zeige: Ableitung von f bei x0 (allg. Beweis der Defintion, aber mit f: (a,b) → R)

Question

Aufgabe:

Sei I = (a, b) mit a, b ∈ ℝ, a < b, und f : I → ℝ sei in x₀ ∈ I differenzierbar. Seien (x_n)_n∈ℕ, (y_n)_n∈ℕ Folgen aus I mit x_n → x₀ und y_n → x₀. Weiter gelte x_n < x₀ < y_n für alle n ∈ ℕ. Zeige:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) f(y_n) -f(x_n)/y_n-x_n = f'(x₀)

Comments

Ich bin ein wenig ratlos bei dieser Aufgabe, weil bei der herkömmlichen Definition wäre an der Position yn eigentlich x0, aber wegen der Bed. liegt x0:

xn < x0 < yn

Hat Jemand einen Ansatz, wie die ganzen Eigenschaften unter einem Hut bekommen soll?

Answer 1

Hallo,

um die Schreibarbeit zu organisieren, führe ich mal folgende Größe ein:

$$r_n:=f(y_n)-f(x_0)-f'(x_0)(y_n-x_0)$$

Hierfür gilt:

$$\frac{r_n}{y_n-x_0}=\frac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0}-f'(x_0) \to 0$$

Analog benutze ich \(s_n\) mit \(x_n\). Damit erhält man:
$$f(y_n)-f(x_n)=f(x_0)+f'(x_0)(y_n-x_0)+r_n-f(x_0)-f'(x_0)(x_n-x_0)-s_n$$$$=f'(x_0)(y_n-x_n)+r_n-s_n$$

Daraus wieder:

$$\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}-f'(x_0)=\frac{r_n}{y_n-x_n}-\frac{s_n}{y_n-x_n}$$

Die rechte Seite geht gegen 0; denn

$$\frac{|r_n|}{y_n-x_n}\leq \frac{|r_n|}{x_0-x_n} \to 0$$

Hier wird die Eigenschaft \(x_n<x_0<y_n\) benutzt. Analog kann man den zweiten Summanden abschätzen.

Gruß

Comments

Danke für deine Schreibarbeit, dass hilft mehr sehr, die einzelnen Schritte nachzuvollziehen.