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Aufgabe:

Sei I = (a, b) mit a, b ∈ ℝ, a < b, und f : I → ℝ sei in x0 ∈ I differenzierbar. Seien (xn)n∈ℕ, (yn)n∈ℕ Folgen aus I mit xn → x0 und yn → x0. Weiter gelte xn < x0 < yn für alle n ∈ ℕ. Zeige:

limn \lim\limits_{n\to\infty} f(yn) -f(xn)/yn-xn = f'(x0)


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Ich bin ein wenig ratlos bei dieser Aufgabe, weil bei der herkömmlichen Definition wäre an der Position yn eigentlich x0, aber wegen der Bed. liegt x0:

xn < x0 < yn

Hat Jemand einen Ansatz, wie die ganzen Eigenschaften unter einem Hut bekommen soll?

1 Antwort

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Hallo,

um die Schreibarbeit zu organisieren, führe ich mal folgende Größe ein:

rn : =f(yn)f(x0)f(x0)(ynx0)r_n:=f(y_n)-f(x_0)-f'(x_0)(y_n-x_0)

Hierfür gilt:

rnynx0=f(yn)f(x0)ynx0f(x0)0\frac{r_n}{y_n-x_0}=\frac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0}-f'(x_0) \to 0

Analog benutze ich sns_n mit xnx_n. Damit erhält man:
f(yn)f(xn)=f(x0)+f(x0)(ynx0)+rnf(x0)f(x0)(xnx0)snf(y_n)-f(x_n)=f(x_0)+f'(x_0)(y_n-x_0)+r_n-f(x_0)-f'(x_0)(x_n-x_0)-s_n=f(x0)(ynxn)+rnsn=f'(x_0)(y_n-x_n)+r_n-s_n

Daraus wieder:

f(yn)f(xn)ynxnf(x0)=rnynxnsnynxn\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}-f'(x_0)=\frac{r_n}{y_n-x_n}-\frac{s_n}{y_n-x_n}

Die rechte Seite geht gegen 0; denn

rnynxnrnx0xn0\frac{|r_n|}{y_n-x_n}\leq \frac{|r_n|}{x_0-x_n} \to 0

Hier wird die Eigenschaft xn<x0<ynx_n<x_0<y_n benutzt. Analog kann man den zweiten Summanden abschätzen.

Gruß

Avatar von 14 k

Danke für deine Schreibarbeit, dass hilft mehr sehr, die einzelnen Schritte nachzuvollziehen.

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