Hallo,
um die Schreibarbeit zu organisieren, führe ich mal folgende Größe ein:
rn : =f(yn)−f(x0)−f′(x0)(yn−x0)
Hierfür gilt:
yn−x0rn=yn−x0f(yn)−f(x0)−f′(x0)→0
Analog benutze ich sn mit xn. Damit erhält man:
f(yn)−f(xn)=f(x0)+f′(x0)(yn−x0)+rn−f(x0)−f′(x0)(xn−x0)−sn=f′(x0)(yn−xn)+rn−sn
Daraus wieder:
yn−xnf(yn)−f(xn)−f′(x0)=yn−xnrn−yn−xnsn
Die rechte Seite geht gegen 0; denn
yn−xn∣rn∣≤x0−xn∣rn∣→0
Hier wird die Eigenschaft xn<x0<yn benutzt. Analog kann man den zweiten Summanden abschätzen.
Gruß