Kanonisches Skalarprodukt, zeigen sie...

Question

Aufgabe:

Kanonisches Skalarprodukt,Zeigen Sie...
Problem/Ansatz:

Hallo :)

Hier ist ein Bild von meiner Aufgabe.

Ich kriege die Aufgabe nicht so ganz hin, könnte mir jemand helfen ?

Text erkannt:

2. Für \( x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \) definieren wir das Vektorprodukt \( x \times y \in \mathbb{R}^{3} \) durch
$$ x \times y:=\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) . $$
Sei \( \langle\cdot, \cdot,\rangle \) das kanonische Skalarprodukt auf \( \operatorname{dem} \mathbb{R}^{3} \). Zeigen Sie:
a) \( \langle x, x \times y\rangle=\langle y, x \times y\rangle=0 \).
b) \( \|x \times y\|^{2}=\|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x, y\rangle^{2} \).
c) \( x \times y=0 \Leftrightarrow x \) und \( y \) sind linear abhängig.
(8 Punkte)

Answer 1

Beim kanonischen Skalarprodukt rechnest du ja:

< (a1,a2,a3) , (b1,b2,b3) > = a1*b1+a2*b2+a3*b3

Also musst du für < x , x x y > rechnen

x1*(x2y3-x3y3) + x2*(x3y1-x1y3)+x3*(x1y2-x2y1)

und wenn du die Klammern auflöst, kommt wirklich 0 raus.

etc.

Comments

Hast du b) geschafft? Ich verzweifle leider dran.

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b)  linke Seite = $$(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2})^2+( x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3})^2+( x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1})^2 $$

$$= x_{2}^2 y_{3}^2-2x_{2} y_{3}x_{3} y_{2} +x_{3}^2 y_{2}^2+ x_{3}^2 y_{1}^2 -2x_{3} y_{1}x_{1} y_{3} +x_{1}^2 y_{3}^2+x_{1}^2 y_{2}^2-2x_{1} y_{2}x_{2} y_{1} +x_{2}^2 y_{1}^2 $$

und die rechte Seite gibt

$$ (x_{1}^2 +x_{2}^2 +x_{3}^2)  \cdot (y_{1}^2 +y_{2}^2 +y_{3}^2) -(x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3)^2 $$

$$ =x_{1}^2y_{1}^2 +x_{2}^2y_{1}^2 +x_{3}^2y_{1}^2 +x_{1}^2y_{2}^2+x_{2}^2y_{2}^2 +x_{3}^2y_{2}^2+x_{1}^2y_{3}^2 +x_{2}^2y_{3}^2 +x_{3}^2y_{3}^2$$

$$-(x_1^2y_1^2+x_2^2y_2^2+x_3^2y_3^2+2x_1y_1x_2y_2+2x_1y_1x_3y_3+2x_2y_2x_3y_3) $$

Und dann heben sich einige auf und bleibt genau das übrig, was die linke Seite ergab.

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Dankeschön :)