Es sei f: R-> R eine Funktion die in jedem Punkt stetig ist und für r ∈ ℚ gelte f(r) = 0. Beh: f(x)=0 für alle x ∈ ℝ.

Question

Wenn eine Funktion f von ℝ nach ℝ stetig ist und f(t)=0 für t∈ℚ , warum gilt dann auch f(s)=0 für s∈ℝ?

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GUten morgen, ich habe hier eine Aufgabe:

Es sei f: ℝ→ℝ eine Funktion die in jedem Punkt stetig ist und für r ∈ ℚ gelte f(r) = 0 . Zeigen sie , dass dann für alle x ∈ ℝ gilt: f(x)=0 .

Wie löse ich diese Aufgabe? irgendwie habe ich gar keinen Ansatz

Comments

Du müsstest gleich argumentieren wie hier: https://www.mathelounge.de/78074/sei-stetige-funktion-und-gilt-fur-alle-x∈ℚ-beh-gilt-fur-alle-x∈ℝ

Allerdings fehlt dort auch noch eine vollständige Lösung.

Answer 1

Eine Funktion f:ℝ→ℝ ist genau dann stetig in x₀, wenn für alle Folgen x_n (x_n∈ℝ) die gegen x₀ konvergieren gilt, dass f(x_n) gegen f(x₀) konvergiert.

Sei x₀∈ℝ beliebig gegeben.

Da in jeder beliebigen Umgebung einer rationalen Zahl eine irrationale liegt (Dichtheit von ℚ in ℝ), gibt es eine Folge (x_n) rationaler Zahlen mit  x_n→x₀.  Da laut Voraussetzung für alle x_k gilt, dass f(x_n) = 0, konvergiert f(x_n) gegen 0. Da f stetig ist, muss nun gelten f(x₀) = 0.

Answer 2

Das gilt, da die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen. Jede reelle Zahl lässt sich als Grenzwert eine Folge von rationalen Zahlen schreiben. Limes und stetige Funktionen vertauschen, d.h.

$$ \forall x \in \mathbb R \exists (a_n)_n \in \mathbb Q : x=lim_{n \to \infty} a_n \Rightarrow f(x)=f(lim a_n)=lim f(a_n)=lim 0=0 $$