Es sei f : ℝ → ℝ stetig auf ℝ. Für alle x, y ∈ ℝ gelte |f (x) − f (y)| ≥ |x − y|. Zeigen Sie, dass f dann bijektiv ist.

Question

Aufgabe:

Es sei f : ℝ → ℝ stetig auf ℝ. Für alle x, y ∈ ℝ gelte |f (x) − f (y)| ≥ |x − y|.
Zeigen Sie, dass f dann bijektiv ist.

Problem/Ansatz:

Wie geht man das an? Ich habe überlegt die Umkehrfunktion zu bestimmen, aber ich weiß nicht, wie das in dem Fall geht. Wäre für Hilfe dankbar.

Answer 1

Injektivität ist klar. Für Surjektivität zeigst du, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist, hier verwendest du den Zwischenwertsatz (du brauchst hier lediglich Injektivität und Stetigkeit). Dann schliesst du den Beweis ab, indem du zeigst, dass \( f \) unbeschränkt ist (das folgt aus \( |f(x)-f(y)| \geqslant|x-y| \) ) und wegen der strengen Monotonie gilt

\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty \wedge \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty \text { oder } \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty \wedge \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} f(x)=\infty \)

Nun noch einmal den Zwischenwertsatz anwenden und du bist fertig.

Comments

Weswegen ist die Injektivität (f(x) = f(y) ⇒ x = y ) klar?

Die Funktion ist streng monoton steigend wegen:
f(x) < f(y) mit x < y
f(x)-f(y) < 0 und x-y<0
|f(x)-f(y)| < 0 und |x-y|<0
Aber |f (x) − f (y)| ≥ |x − y|
Demnach ist f streng monoton steigend. Richtig?

Dann verstehe ich aber nicht wieso f unbeschränkt ist. Den letzten Schritt mit dem Zwischenwertsatz habe ich auch nicht verstanden.

Kannst du diese Schritte bitte noch einmal erklären?

---

Wenn f(x)=f(y) ist, dann gilt ja wohl

|f(x) - f(y)| = 0

Nach Voraussetzung dann 0 ≥ |x-y|, also muss x=y sein.

---

Achso ok. Weißt du wie der Rest geht?