Risiduensatz und Chauchy Integralformel für Integrale benutzen

Question

Hallo Leute, wisst ihr wie ich dieses Integral hier berechne
\( \int \limits_{|z|=2} \frac{\sin (2 z)}{\left(z-\frac{\pi}{4}\right)^{2}\left(z^{2}+9\right)} \mathrm{d} z \)
einmal mit dem Residuensatz, und einmal mit der Cauchyschen Integralformel für die Ableitungen?

Answer 1

Deine Singularitäten: +- 3i, einfach → Außerhalb von dem Kreis mit Radius 2

pi/4, doppelt → Innerhalb

a) mit Residuensatz:

Res(f,\( \frac{pi}{4} \)) = lim z-->\( \frac{pi}{4} \) \(\frac{d}{dz} \ ( \frac{sin(2z)}{z^2+9} \))

Für das Integral das Ganze noch mit 2*pi*i multiplizieren

b) CIF für Ableitungen

\( \frac{\frac{sin(2z)}{z^2+9}}{(z-pi/4)^2} \) → f(z) = \( \frac{sin(2z)}{z^2+9} \) , k = 1

Formel: \( \frac{2·pi·i·f'(z0)}{k!} \)

Einsetzen, dann bist du bei a) und b) auf dem selben stand. Mit Quotientenregel ableiten, z0 einsetzen dann fliegt der cos Term raus.