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Hallo an alle!


Kann mir bitte jemand mit der Lösung einer Aufgabe helfen?

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Es bezeichne C die im positiven Sinn durchlaufene Kreislinie vom Radius

3 um den Nullpunkt in der komplexen Ebene. Berechnen Sie mittels Cauchyschem
Integralsatz und der Cauchyschen Integralformel das Integral


c∫ (cos πz)/(z2 − 1) dz.

von

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  Tja; da gibt es eine fair swearing, wie wir Runaways sagen -   eine Verschwörung internationalen Ausmaßes.

   Sämtliche Mathe-und Physikprofessoren  waren bzw. sind sich einig,   dass man die dummen Studiosi im Unklaren lassen solle, wie man mittels Funktionenteorie  ( FT ) eine inverse Fouriertransformation löst.  Manchmal steht dann da

   " Wie man leicht sieht "

   Auch ich habe es mir schließlich im 5. Semester selber beigebracht ...

   Vielleicht hat aber doch der Eklat um das sog. " Abdecker-oder Zuhälterverfahren "  etwas Bewegung in die verhärteten Fronten gebracht .

   Jeden Falls ich erhielt seiner ( oder meiner? ) Zeit noch vom Herrn Professor eine sehr ernste Abmahnung für mein Statement,  Residuen seien

   " weiter nichts als Ableitungen des Integralkerns "

   Ich wurde beschieden, meine Kommilitonen dürften solches auf keinen Fall hören ...

   Der Residuensatz fordert dich also auf, sämtliche Pole innerhalb des Kreises zu suchen als da sind


     z1;2  =  (  -/+1  )       (  1  )


  ( Ach fällt mir eben grad auf; er meint nicht den Cauchysatz, somdern den Residuensatz . )

   Wir haben einfache Pole; die Residuen sind



                                cos ( Pi z )   

   ( 1 / 2Pi i )   $   ---------------------         (  2  )

                                z - z1;2


    Ich kann dir nur raten:  Besorge dir ein gutes FT-Buch ( Knoppbändchen; Cartan; Mc Lachlan ) ; und schau dir mal die Cauchysche Integralformel an. Für einfache Pole ist ihre Aussage besonders einfach:

   " Das Residuum ist gleich dem Wert des Integralkerns an dwer Polstelle. " 

      Die beiden Integralkerne sind


    G  (  z  ;  -/+  1  )  =  cos  (  Pi  z  )  /  (  z  -/+1  )  (  3  )


   (  Die o.e. seltsame  Bezeichnung als Abdecker-bzw. Zuhälterverfahren im Zusammenhang mit der  ===>  Teilbruchzerlegung rührt ja gerade daher, dass du den Kern bekommst, indem du alles mit der Hand " abdeckst bzw. zuhältst "  , was singulär wird. )


( 1/ 2 Pi i ) $ = G ( - 1 ; - 1 ) + G ( 1 ; 1 ) =     (  4a  )

   =  1/2  cos  (  Pi  )   (  -  1  +  1  )  =  0     (  4b  )


    Im Wesentlichen macht sich hier bemerkbar, dass cos ( - Pi ) = cos ( + Pi )

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