Dichtefunktion, Maximum-Likelihood-Schätzer, Stochastik

Question

Gegeben sei folgende Dichtefunktion:
\( P_{\lambda}(k)=\frac{\lambda^{k} \cdot \exp (-\lambda)}{k !} \)
wobei \( k \in\{0, \ldots, N\} \) und \( \lambda>0 \) und \( \lambda \in \mathbb{R} \) ist.

a) Leiten Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für \( \lambda \) her, wenn \( N \) stochastisch unabhängige Beobachtungen \( k_{1}, \ldots, k_{N} \) vorliegen. Stellen Sie sicher, dass die gefundene Extremstelle eine Maximalstelle ist.

b) Leiten Sie den Erwartungswert der Dichtefunktion \( P_{\lambda}(k) \) her. Hinweis: \( \exp (x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \)

Ich wäre für jeglichen Ansatz, Erklärung sehr dankbar.

Answer 1

bei b) E(x)= ∑ k. P(X=k) 
Also P(X=k) mit \(P_{\lambda}(k)=\frac{\lambda^{k} \cdot \exp (-\lambda)}{k !} \) in der Formel einsetzen und berechnen. nicht vergessen den Hinweis zu benutzen und am Ende kommt E(x)= λ raus.

Comments

Hallo, vielen Dank für die Antwort, könnten Sie mir bitte einen Ansatz geben bei der Vereinfachung? Das wäre sehr hilfreich!

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\( \begin{aligned} E(x) &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} k \cdot P(x=k) \\ &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda}{k !} \exp (-\lambda) \\ &=0 \cdot \frac{\lambda^{0}}{0 !} e^{(-\lambda)}+\sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^{k}}{k !} e^{(-\lambda)} \\ &=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} e^{(-\lambda)} \\ &=\lambda e^{(-\lambda)} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\ &=\lambda e^{(-\lambda)} \sum \limits_{i=0}^{k=} \frac{x^{i}}{i !} \\ &=\lambda \end{aligned} \)

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\(\begin{aligned} E(x) &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} k \cdot P(x=k) \\ &=\sum \limits_{k=0}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda}{k !} \exp (-\lambda) \\ &=0 \cdot \frac{\lambda^{0}}{0 !} e^{(-\lambda)}+\sum \limits_{k=1}^{\infty} k \cdot \frac{\lambda^{k}}{k !} e^{(-\lambda)} \\ &=\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{(k-1) !} e^{(-\lambda)} \\ &=\lambda e^{(-\lambda)} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1}}{(k-1) !} \\ &=\lambda e^{(-\lambda)} \sum \limits_{i=0}^{k=} \frac{x^{i}}{i !} \\ &=\lambda \end{aligned} \)

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Vielen Dank!

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und die frage a) bitte..wie geht das denn bitte?

danke voraus.

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und die frage a) bitte..wie geht das denn bitte?

danke voraus.