Beweis mit Bernoullische Ungleichung

Question

*Aufgabe 2.5. (8 Punkte). Sei \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geqslant 1 \). Zeige, dass für alle reellen positiven Zahlen \( a_{1}, \ldots, a_{n}>0 \) die folgenden Ungleichungen gelten:

\( \left(\frac{a_{1}+\ldots+a_{n}}{n}\right)^{n} \geqslant a_{1} \cdot \ldots \cdot a_{n} \geqslant\left(\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}}\right)^{n} . \)

Um die erste Ungleichung in (1) zu zeigen, führe den Beweis durch Induktion über \( n \) und benutze dabei die Bernoullische Ungleichung \( (1+x)^{n} \geqslant 1+n x \) für alle \( x \geqslant-1 \) und \( n \in \mathbb{N} \) (die Bernoullische Ungleichung darf ohne Beweis verwendet werden). Die zweite Ungleichung in (1) folgt leicht aus der ersten. Wieso?

Answer 1

Hi Dabi,

eine halbe Stunde ist für so eine Aufgabe auch nichts ungewöhnliches und kein Maß :). Dass die Verwendung der Bernoullischen-Ungleichung nicht offensichtlich ist, ist auch verständlich,

Ich gebe dir einfach mal nen Anschubser aber keine vollständige Komplettlösung, sprich die Zwischenschritte solltest du selber versuchen hinzubekommen und das Ende auch.

Damit ich mir Schreibarbeit erspare lass uns doch die Abkürzung \( s_n := a_1+a_2+...+a_n \) verwenden.

Dass du den Induktionsanfang schon gemacht hast setze ich mal voraus. Betrachten wir also nun den Schluss:

\(A(n)\) wahr \(\Rightarrow A(n+1)\) wahr, wobei \(A(n)\) die Ungleichung für die natürliche Zahl \(n\) meint.

Fangen wir mal an:

$$ \begin{aligned} \left( \frac{s_{n+1}}{n+1} \right)^{n+1} &=  \left( \frac{s_n}{n} \right)^{n+1}\cdot  \left( \frac{n\cdot s_{n+1}}{(n+1)\cdot s_n} \right)^{n+1} \\ &=   \left( \frac{s_n}{n} \right)^{n+1}\cdot  \left( \frac{ns_n + na_{n+1}}{(n+1)\cdot s_n} \right)^{n+1} \\ &=   \left( \frac{s_n}{n} \right)^{n+1}\cdot  \left( 1+\frac{na_{n+1}-s_n}{(n+1)\cdot s_n} \right)^{n+1} \\  &... \\ &... \\ &\geq a_1 a_2 \cdots a_n a_{n+1}\end{aligned} $$

Versuch dich dran, es ist nicht mehr viel übrig zu tun.

Achja übrigens zeigst du mit dieser Ungleichung, dass das arithmetische Mittel positiver Zahlen immer größer gleich ihrem geometrische Mittel ist.

Gruß

Comments

Du meinst sicher das harmonische Mittel oder?

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Stimmt beides wird gezeigt

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Kannst du mir den ersten Schritt deines Induktionsschrittes erklären. Also das was rechts vom Gleichheitszeichen steht, blicke dort nicht recht durch.

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Der Bruch wird in 2 Faktoren aufgeteilt aus einem bestimmten Grund, nämlich einen Term zu erhalten auf den man später die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Alles was verwendet wurde ist:

$$ (ab)^n = a^nb^n $$

und \( y = x \cdot \frac{y}{x} \).

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Ich verstehe diesen Schritt jetzt komme aber trotzdem nicht weiter bei der Beweisführung, Sehe weder wo ich die Ungleichungsformel anwenden kann und wie ich die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.

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Die Bernoullische Ungleichung ist doch in der Aufgabe gegeben. Welcher Term würde denn dafür in Frage kommen? Viel Auswahl steht da nicht ;).

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Ja der 2. aber kann ich dann einfach für x den oben gegeben Ausdruck einsetzten und was bringt es mir dann wen ich diese Ungleichung einsetzte? dann ist ja noch nichts bewiesen.

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Weiter vereinfachen, und IV verwenden und fertig ist man. Ohne Arbeit und durch bloßes Hinschauen wird der Beweis sich nicht unbedingt direkt offenbaren ;).

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Ich habe es jetzt weiter aufgelöst und komme auf

> (sn/n)ⁿ⁺¹ * (na_n+1/sn)

Kann ich jetzt sagen:

>(sn/n)ⁿ⁺¹ * ( n*a_n+1) und das ist sicher grösser als a₁*a₂*......*a_n+1

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Deine letzte Abschätzung gilt nicht allgemein und ist an dieser Stelle nicht nötig. Du solltest erkennen, dass sich in deiner ersten Zeile was kürzen lässt.

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aha jaaa stimmt dann gibt es ja (sn/n)ⁿ*a_n+1

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Danke für deine Geduld und deine grosse Hilfe!

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Kein Problem, freut mich, dass es geklappt hat :).