Einen R-Isomorphismus für (f,g)∶ (R,+,⋅) → (V,◊,☺) finden.

Question

Hallo, ich bin auf diese Aufgabe gestoßen und muss bei der einen Teilaufgabe einen R-Isomorphismus finden. Ich komme aber leider gar nicht klar mit Isomorphismen und weiß somit nicht weiter. Ich bin über jede mögliche Hilfe sehr dankbar!

Sei V = R>0 = { x ∈ R ∣ x > 0 }. Wir definieren eine Addition und eine Skalierung auf V durch:

           ◊ ∶ V ×V → V ∶ (u, v) ↦u◊v ∶= u ⋅ v
          ☺ ∶ R×V → V ∶ (λ, v)↦λ☺v ∶= v^λ

Finden Sie einen R-Isomorphismus (f,g)∶ (R,+,⋅) → (V,◊,☺).

Comments

Wie wäre es mit

$$ \varphi~ : ~(\mathbb R,+,\cdot) \to (\mathbb R_{>0},\diamondsuit,☺),~ x \mapsto e^x $$