Zeigen Sie, dass die Abbildung v → fv, wobei fv(w)=(v,w) einen Isomorphismus von V nach V′ definiert.

Question

Aufgabe:

Sei V ≅ ℝⁿ, (·,·) eine bilineare Abbildung, so dass es zu jedem v ≠ 0 ein w mit (v,w) ≠ 0 gibt. Zeigen Sie, dass die Abbildung v → f_v, wobei f_v(w)=(v,w) einen Isomorphismus von V nach V′ definiert.

Answer 1

V' soll ja wohl der Dualraum von V sein.

Die Abbildung nenne ich mal F also gilt

F:V→V' und für alle v∈V ist F(v)=f_v die Linearform

mit  f_v : V→ℝ definiert durch f_v(w) =(v,w) für alle w∈V.

Das ist ein Homomorphismus, weil (... , ...) eine Bilinearform ist,

also insbesondere in der 2. Komponente linear, also

f_v(au+bw) = (v,au+bw ) wegen Linearform also

=a(v,u)+b(v,w )

 = af_v(u) + bf_v(w) .

Da dim(V)=dim(V') reicht zum Nachweis "Isomorphismus"

der Nachweis von Kern(F)={0}.

D.h. Nur für v=0 ist f_v die 0-Linearform, also die, die

für alle w∈V also Ergebnis f_v(w)=0 hat .

Da aber zu jedem v∈V\{0} gilt f_v(v)=(v,v)≠0 .

Ist also in der Tat Kern(F)={0}, also F ein Isomorphismus.